Problema di cauchy

[enr87]

un esercizio fatto in classe è il seguente pdC:

$y' = xy^2
$y(0)=-1

ancora prima di trovare la soluzione, il prof ha dedotto che non potesse mai annullarsi perchè l'ipotesi di unicità era soddisfatta. volevo sapere se la motivazione, più precisamente, è questa: se per assurdo y(x) si annullasse in un punto $x_0$ dell'intervallo $I$ (con $0 in I$), allora avremo la soluzione costante $y(x_0) = 0$, in aggiunta a quella che ricaverei con la solita procedura, il che va contro l'unicità. il problema è che nel fare tutto questo dovrei cambiare il dato iniziale, perchè y = 0 non soddisfa la condizione espressa sopra, e non credo che questo sia possibile. come andrebbe fatto il ragionamento?

[dark121it]

Bha...prendi con le pinze quello che ti dico perchè non sono un esperto;
però io farei così:

Posto $f(x,y):=xy^{2}$ si vede che $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$
verifica le HP del teorema di esistenza e unicità, almeno in piccolo.
Percui sono sicuro che esiste un unica funzione $y$ definita in un
intorno opportuno $I$ del punto $0$ che verifica il PdC.

Ora abbiamo che $f(x,y):=xy^{2}=:a(x)b(y)$ cioè è a variabili separabili.

Le eventuali soluzioni costanti si trovano imponendo $b(y)=0\Leftrightarrow y^{2}=0\Leftrightarrow y=0$.

Percui dovremmo avere la soluzione costante $y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tc $forall x\in\mathbb{R}:y(x)=0$.

Ma se così fosse, sarebbe anche $y(0)=0$ contro il dato iniziale
$y(0)=-1$.

Quindi la soluzione non può essere $y\equiv0$.

Da notare che però, con questo ragionamento, sto scartando l'ipotesi di soluzioni costanti perchè non verficano il PdC
e non per l'unicità...
Mah...attendo il parere di chi ne sa più di me...

[alberto.chiarini]

...se per assurdo $y(x)$ si annullasse in un punto dell'intervallo $x_0$ (con $x_0\in I$ ), allora avremo la soluzione costante $y\equiv 0$, in aggiunta a quella che ricaverei con la solita procedura, il che va contro l'unicità.

La motivazione è proprio questa, infatti, se si annullasse in $x_0$, la soluzione di $PC(0,-1)$ sarebbe anche soluzione dello stesso problema con condizione iniziale $y(x_0)=0$, quindi dovrebbe essere $y\equiv 0$ per l'unicità $\Rightarrow$ assurdo perchè $y(0)=-1$.

[dissonance]

Io confermo quanto detto da dark121it e da Albe. Aggiungo, per enr: prova a visualizzare geometricamente l'equazione differenziale, disegnando (a livello di abbozzo) nel piano $xy$ il campo delle pendenze. Vedrai che la linea orizzontale di equazione $y=0$ è soluzione e, visto che sei in ipotesi di esistenza e unicità, le altre curve integrali non possono toccarla, ovvero, analiticamente, le soluzioni non si annullano mai.

[enr87]

ringrazio tutti. quello che volevo far notare è proprio l'osservazione di dark, quando dice che scarta l'ipotesi di soluzioni costanti perchè non potrebbero verificare il pdC, e non per il discorso dell'unicità.
ma in ogni caso si potrebbe cambiare il dato iniziale? vista la conferma di Albe, mi sono anche convinto si possa fare. infatti se y(x) si annulla in un punto e chiamo questo punto $x_1$, allora il pdC non cambia se come condizione metto $y(x_1) = 0$ al posto della precedente.
dissonance, cosa intendi per campo delle pendenze? ho l'impressione abbia qualcosa a che vedere con le traiettorie, e su questo argomento ho un "buco" sui miei appunti

[dissonance]

Quindi non sai visualizzarti geometricamente una equazione differenziale? Dai un'occhiata a

http://tutorial.math.lamar.edu/

"Class notes", "Differential equations", "Basic concepts".
Questo sito è carino perché pieno di figure ma attenzione perché quanto a rigore matematico siamo proprio a zero. La sezione "Basic concepts" però va bene.

[enr87]

ah, grossolanamente ho capito: è un po' come le linee di un campo in fisica. comunque se non sbaglio questo può andare bene per equazioni del primo ordine.. poi la faccenda si complica notevolmente.
per il resto, potresti dirmi se nell'ultimo post le mie osservazioni vanno bene? il dato iniziale si può cambiare senza "alterare" il pdC?