Problema di Cauchy

[Darius901]

Ciao a tutti, ho un problema con questo problema di Cauchy:
Esercizio:
Stabilire per quali valori di $ T in R $ l'equazione differenziale $ y''+Ty=0 $ ha soluzioni y(x) non identicamente nulla tali che $ y(0)=y(Pi)=0$.
Ho provato a impostarlo e come soluzione della equazione omogenea mi trovo : $ C1cosroot(2)(T)Pi + C2sinroot(2)(T)Pi $ e imponendo le condizioni iniziali mi trovo la soluzione indenticamente nulla. Grazie

[Zkeggia]

La soluzione che hai trovato non ha senso, è una funzione costante, quindi quando sostiutisci nell'equazione differenziale ti ritrovi con $T*y = 0$ e non è affatto vera. Hai sbagliato a risolvere l'equazione:

$y ( x ) = A_0*e^(i*sqrt(T)*x) + B_0*e^(-i*sqrt(T)*x)$ è la soluzione più generale dell'equazione, tramite la formula di eulero ti riduci a

$C_0*cos(sqrt(T)*y) + i*D_0 *sen((sqrtT)*y)$

A questo punto direi che in $0$ la soluzione fa $0$ solo se $C_0=0$, in $pi$ hai che

$D_0*sen((sqrtT)*pi) = 0$

ora guarda le proprietà del seno, quando è che si annulla?

[Darius901]

Ok premesso che ho sbagliato a scrivere la soluzione da me ottenuta perchè era $ C1cos(root()T x) + C2sin(root()T x) $ invece ho scritto quella in cui avevo già sostituito i valori, ora se i vedo le proprietà del seno, in particolare dove si annulla, come tu dici ( cioè in $0+kPi$) non ottengo sempre la soluzione identicamente nulla?

[Zkeggia]

Certo che no, tu ricordati che stai guardando la soluzione in un punto! il problema parla di funzioni identicamente nulle.
Prendiamo il caso più facile, $T=1$. La rispettiva funzione è $D_0*senx$ che è diversa da 0 e si annulla nei punti $0$ e $pi$
Forse ti sei confuso perché hai esaminato solo il caso $T=0$ in cui ottieni effettivamente la funzione nulla.