Problema di Cauchy

[magicdavide88]

Salve a tutti,
mentre facevo qualche esercizio di equazioni differenziali ordinarie, ho trovato questo problema di Cauchy, in cui era richiesto di discutere l'esistenza e l'unicità locali; immediatamente mi sono accorto che è una funzione $Coo in RR xx RR $, quindi sono verificatele ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale per ogni b.
Però, guardando le soluzioni mi sono accorto che la funzione è si C infinito, ma in (0, +inf) xx RR, quindi mi chiedo perchè non può essere in tutto RR invece che solo in (0, +inf)???

$ dot(y)= arctan(y) - 1/x $
$ y(1)= b $

Grazie mille per la disponibilità,

A presto!

[salvozungri]

"Dav_ide":Salve a tutti,
mentre facevo qualche esercizio di equazioni differenziali ordinarie, ho trovato questo problema di Cauchy, in cui era richiesto di discutere l'esistenza e l'unicità locali; immediatamente mi sono accorto che è una funzione $Coo in RR xx RR $, quindi sono verificatele ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale per ogni b.
Però, guardando le soluzioni mi sono accorto che la funzione è si C infinito, ma in (0, +inf) xx RR, quindi mi chiedo perchè non può essere in tutto RR invece che solo in (0, +inf)???

$ dot(y)= arctan(y) - 1/x $
$ y(1)= b $

Grazie mille per la disponibilità,

A presto!

E' una questione di domini:

Abbiamo una funzione in due variabili:
[tex]$f(x, y) = \arctan(y)-\frac{1}{x}[/tex]. Il dominio di questa funzione non è [tex]\mathbb{R}\times\mathbb{R}[/tex], ma [tex](-\infty, 0)\cup(0, +\infty)\times\mathbb{R}[/tex] poichè la funzione [tex]\frac{1}{x}[/tex] ha problemi per [tex]x=0[/tex]
Poichè il teorema di esistenza e unicità pretende che la funzione [tex]f(x, y)[/tex] sia definita in un rettangolo o in una striscia di [tex]\mathbb{R}^2[/tex], non potendo quindi considerare [tex](-\infty, 0)\cup(0, +\infty)[/tex], dobbiamo prendere un sottointervallo di esso che contenga [tex]x_0[/tex] che in questo caso, guardando il punto iniziale, è 1.

Devi prendere quindi [tex](0, +\infty)\times\mathbb{R}[/tex] , di modo che [tex](x_0, y(x_0))= (1, y(1)) \in (0, +\infty)\times\mathbb{R}[/tex]. Mi auguro sia chiaro

[magicdavide88]

Altro che chiaro, chiarissimo!!!

Grazie infinite Mathematico!!!