Problema di Cauchy

[giuppyru-votailprof]

Salve ragazzi ho difficoltà nel risolvere il seguente problema di Cauchy :

${(y'=2y/x+3x^2cosx),(y(pi)=3(pi)^3):}$

Vi posto i passaggi che ho fatto :

Risolvo l'equazione omogenea associata $y'=2y/x$ $=>$ $y'/y=2/x$ $=>$ integrando

$ln|y|=2ln|x|$ $=>$ ricordando la propietà dei logaritmi $y=A*x^2$

Pongo $y=ax+b$ $=>$ $y'=a$ e ottengo

$a=2a+2b/x+3x^2cosx$ e ora mi ricavo $a$ e $b$

${(a=0),(b=-x/2*3x^2cosx):}$ sostituendo nella soluzione ottengo

$y=A*x^2-x/2*3x^2cosx$ e ora sostituendo $x=pi$ e $y(pi)=3(pi)^3$ ottengo

$3(pi)^3=(3(pi)^3)/2+A(pi)^2$ da cui $A=3/2*pi$

e quindi la soluzione $y=3/2*pi*x^2-3x^2cosx*x/2$$=$$3x^2(pi/2-(xcosx)/2)$

Dove sbaglio ?

Il risultato è : $y=3x^2(senx+pi)$

Grazie

[faximusy]

Ciao,

esame con Ceccherini?


Comunque penso che dovresti applicare la classica formula risolutiva per le equazioni differenziali lineari:

1) trasforma l'equazione in forma normale: $y'=a(x)y+b(x)$ (in generale, perchè è già così)

2) applica questa formula:
$y=e^(\int a(x)dx) * (\int b(x) e^(\int-a(x)dx)dx)$


E' molto piu semplice di quanto non sembri

[ziomauri1]

Non puoi trovare la soluzione particolare in quel modo .O fai come ti dice faximusy oppure (se non ricordi la formula)
adoperi il metodo della variazione della costante A.Considera A come funzione di x e derivando ottieni così:
[tex]\displaystyle y'=A'x^2+2Ax[/tex]
Se sostituisci nell'equazione di partenza vedi che ricavi subito A.
Dovresti trovare [tex]\displaystyle A=3 \sin x+C[/tex] e poi [tex]\displaystyle C=3 \pi[/tex] con la condizione iniziale

[frenky46]

Salve ragazzi ho anche io lo stesso problema. Conosco quella formula che dice Faximusy però non capisco come posso applicarla per risolvere un problema di Cauchy? Cioè la devo semplicemente applicare senza fare ulteriori ragionamenti ?

p.s. la formula che conoscevo io e ho sempre usato senza problemi è : $y=e^(-\int a(x)dx)*(\int b(x)e^(\int a(x)dx)dx)$ che differisce per i segni degli integrali all'esponente, però per applicarla scrivevo l'equazione così $y'+a(x)y=b(x)$ è la stessa cosa detta da Faximusy giusto ?

Grazie

p.s. Per Faximusy Che tu sappia Ceccherini lascia usare questa formula per risolvere le equazioni e i problemi di Cauchy ? perchè è molto più semplice.

[faximusy]

"frenky46":Salve ragazzi ho anche io lo stesso problema. Conosco quella formula che dice Faximusy però non capisco come posso applicarla per risolvere un problema di Cauchy? Cioè la devo semplicemente applicare senza fare ulteriori ragionamenti ?

p.s. la formula che conoscevo io e ho sempre usato senza problemi è : $y=e^(-\int a(x)dx)*(\int b(x)e^(\int a(x)dx)dx)$ che differisce per i segni degli integrali all'esponente, però per applicarla scrivevo l'equazione così $y'+a(x)y=b(x)$ è la stessa cosa detta da Faximusy giusto ?

Grazie

Si, è la stessa cosa
Infatti il segno cambia (rispetto alla mia forma) perchè sposto il termine $a(x)$ a sinistra.
Comunque di norma si impara in un modo e si prosegue per quella strada

Questa formula si applica in modo automatico, e il problema di Cauchy diventa banale. Fai solo le relative sostituzioni e trovi la costante.

p.s. Per Faximusy Che tu sappia Ceccherini lascia usare questa formula per risolvere le equazioni e i problemi di Cauchy ? perchè è molto più semplice.

Certo che la lascia usare! Perchè non dovrebbe

[frenky46]

ok grazie mille provo a risolvere e posto in modo che mi dite se è corretto.