Problema di Cauchy
Ciao a tutti,
ho il seguente problema di Cauchy:
$y'=xe^y$
$y(0)=0$
Ho svolto l'equazione nel seguente modo:
$dy/dx = xe^y$
.....
.....
arrivo a fare i due integrali ed ad avere come risultato :
$e^-y=x^2/2$
poi ....
$y=log(x^2/2)+c
Quanto vale la C per y(0)=0????
Il $log$ nel punto x=0 è -infinito possibile che la C valga -infinito?
Grazie a tutti per le eventuali delucidazioni sul problema.
ho il seguente problema di Cauchy:
$y'=xe^y$
$y(0)=0$
Ho svolto l'equazione nel seguente modo:
$dy/dx = xe^y$
.....
.....
arrivo a fare i due integrali ed ad avere come risultato :
$e^-y=x^2/2$
poi ....
$y=log(x^2/2)+c
Quanto vale la C per y(0)=0????
Il $log$ nel punto x=0 è -infinito possibile che la C valga -infinito?
Grazie a tutti per le eventuali delucidazioni sul problema.
Risposte
allora intanto l'integrale di $e^(-y)$è $-e^(-y)$.
Svolti i tuoi calcoli ottieni che $y=-log|c-x^2/2|$ (il c non lo fai cambiare di segno perchè tanto è una costante, che sia positiva o negativa non ci interessa) e così ricavi c e finisci l'esercizio
Svolti i tuoi calcoli ottieni che $y=-log|c-x^2/2|$ (il c non lo fai cambiare di segno perchè tanto è una costante, che sia positiva o negativa non ci interessa) e così ricavi c e finisci l'esercizio
La devi determinare prima, la $C$. Ad un certo punto sei arrivato alla soluzione in forma implicita, che secondo me è
$-e^{-y}=1/2 x^2 +C$ (tu ti sei mangiato un $-$ al primo membro e la $C$ al secondo, mi pare).
Adesso, prima di cercare di esplicitare la soluzione, ti conviene eliminare la $C$: applicando le condizioni iniziali
$-1=C$.
Quindi la soluzione in forma implicita è
$-e^{-y}=1/2x^2-1$. A te (dopo aver verificato che io non abbia commesso errori di calcolo) cercare di passare alla soluzione in forma esplicita.
NOTA: Tutti e due stiamo parlando della soluzione e non di una soluzione. Cosa ci garantisce che non ce ne siano altre?
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Blackorgasm.
$-e^{-y}=1/2 x^2 +C$ (tu ti sei mangiato un $-$ al primo membro e la $C$ al secondo, mi pare).
Adesso, prima di cercare di esplicitare la soluzione, ti conviene eliminare la $C$: applicando le condizioni iniziali
$-1=C$.
Quindi la soluzione in forma implicita è
$-e^{-y}=1/2x^2-1$. A te (dopo aver verificato che io non abbia commesso errori di calcolo) cercare di passare alla soluzione in forma esplicita.
NOTA: Tutti e due stiamo parlando della soluzione e non di una soluzione. Cosa ci garantisce che non ce ne siano altre?
P.S.: Scrivevo contemporaneamente a Blackorgasm.
Grazie per la risposta ...
si avete ragione per quanto riguarda il segno meno omesso...
non riesco a capire ancora perchè C = -1
Grazie
si avete ragione per quanto riguarda il segno meno omesso...
non riesco a capire ancora perchè C = -1
Grazie
[tex]-e^{-y}=\frac{x^2}{2}+C\big|_{x=y=0}[/tex] (condizione iniziale)
Comunque la potevi calcolare anche dopo.
Comunque la potevi calcolare anche dopo.
grazie a tutti ! ho chiarito il mio dubbio!
@Dissonance:
si si ho capito a pieno il ragionamento...praticamente ti sei lasciato in forma implicita, invece io sono andato prima in forma esplicita, cioè cambia relativamente poco
poichè il risultato è il medesimo. Comunque non capisco il discorso della o di una soluzione...la soluzione con quella condizione iniziale è unica...poi a seconda delle condizioni cambia il c e quindi soluzione...
si si ho capito a pieno il ragionamento...praticamente ti sei lasciato in forma implicita, invece io sono andato prima in forma esplicita, cioè cambia relativamente poco
poichè il risultato è il medesimo. Comunque non capisco il discorso della o di una soluzione...la soluzione con quella condizione iniziale è unica...poi a seconda delle condizioni cambia il c e quindi soluzione...
Certo, la soluzione è unica. Ma perché? Chi ci garantisce che non ce ne siano altre? Può capitare che un pdC abbia più di una soluzione, guarda per esempio qui.
giusto giusto...ce l'ha detto il nostro prof durante il corso...anche se poi non ne abbiamo visti di casi concreti (a parte casi semi-banali)
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