Problema di Cauchy
Salve ragazzi!
Approfitto del mio primo post in questo forum anche per presentarmi.
Sono Piero, ho 27 anni, studio ingegneria elettronica a Lecce e martedì dovrò sostenere l'ultimo esame della mia vita universitaria in "Metodi Matematici per l'Ingegneria".
Se non passo questo esame salto un appello di laurea...il che sarebbe molto spiacevole...
Ho un problema con un problema di Cauchy (perdonate il gioco di parole).
Il problema di Cauchy è questo:
Dopo aver utilizzato la separazione delle variabili giungo ad una soluzione generica del tipo:
u(x,t)=[tex]\sum_{n=1}^\infty c_n \cdot \sin\left({n \over 2} x\right) \cdot e^{{n^2 \over 4} t}[/tex]
da cui, per soddisfare le condizioni al contorno, devo avere:
[tex]2\sin\left({3 \over 2}x\right) =\sum_{n=1}^\infty c_n \cdot \sin\left({n \over 2} x\right)[/tex]
Quella roba lì è un qualcosa che somiglia ad una serie di Fourier in soli seni, ma il seno dello sviluppo ha un argomento che procede per n/2 e non per n.
Come faccio a calcolare i coefficienti di quello sviluppo?
Ho già provato ad integrare [tex]2\sin\left({3 \over 2}x\right)[/tex] moltiplicandola per [tex]\sin\left({n \over 2} x\right)[/tex] in un periodo che è quello di [tex]\sin\left({n \over 2} x\right)[/tex] (e quindi da -2[tex]\pi[/tex] a 2[tex]\pi[/tex]), ma ottengo un risultato nullo.
Avete qualche idea?
Grazie in anticipo e spero di non aver infranto qualche regola del forum già al mio primo post
Approfitto del mio primo post in questo forum anche per presentarmi.
Sono Piero, ho 27 anni, studio ingegneria elettronica a Lecce e martedì dovrò sostenere l'ultimo esame della mia vita universitaria in "Metodi Matematici per l'Ingegneria".
Se non passo questo esame salto un appello di laurea...il che sarebbe molto spiacevole...
Ho un problema con un problema di Cauchy (perdonate il gioco di parole).
Il problema di Cauchy è questo:
Dopo aver utilizzato la separazione delle variabili giungo ad una soluzione generica del tipo:
u(x,t)=[tex]\sum_{n=1}^\infty c_n \cdot \sin\left({n \over 2} x\right) \cdot e^{{n^2 \over 4} t}[/tex]
da cui, per soddisfare le condizioni al contorno, devo avere:
[tex]2\sin\left({3 \over 2}x\right) =\sum_{n=1}^\infty c_n \cdot \sin\left({n \over 2} x\right)[/tex]
Quella roba lì è un qualcosa che somiglia ad una serie di Fourier in soli seni, ma il seno dello sviluppo ha un argomento che procede per n/2 e non per n.
Come faccio a calcolare i coefficienti di quello sviluppo?
Ho già provato ad integrare [tex]2\sin\left({3 \over 2}x\right)[/tex] moltiplicandola per [tex]\sin\left({n \over 2} x\right)[/tex] in un periodo che è quello di [tex]\sin\left({n \over 2} x\right)[/tex] (e quindi da -2[tex]\pi[/tex] a 2[tex]\pi[/tex]), ma ottengo un risultato nullo.
Avete qualche idea?
Grazie in anticipo e spero di non aver infranto qualche regola del forum già al mio primo post
Risposte
Mmm, l'equazione differenziale mi ricorda l'equazione del calore. Se non ricordo male (da prendere con le pinze!!) i coefficineti erano dati da:
[tex]c_k=\displaystyle \int_{0}^\pi 2\sin\left(\frac{3}{2}x\right) \sin\left(k x \right)dx\quad k\in \mathbb{N}[/tex]
Se mi dai qualche minuto, cerco qualcosa che tratti questo problema su internet
[Edit]: Ovviamente benvenuto!
[tex]c_k=\displaystyle \int_{0}^\pi 2\sin\left(\frac{3}{2}x\right) \sin\left(k x \right)dx\quad k\in \mathbb{N}[/tex]
Se mi dai qualche minuto, cerco qualcosa che tratti questo problema su internet
[Edit]: Ovviamente benvenuto!
"Mathematico":
Mmm, l'equazione differenziale mi ricorda l'equazione del calore. Se non ricordo male (da prendere con le pinze!!) i coefficineti erano dati da:
[tex]c_k=\displaystyle \int_{0}^\pi 2\sin\left(\frac{3}{2}x\right) \sin\left(k x \right)dx\quad k\in \mathbb{N}[/tex]
Se mi dai qualche minuto, cerco qualcosa che tratti questo problema su internet
[Edit]: Ovviamente benvenuto!
Grazie per il "benvenuto"
I coefficienti di Fourier in genere sono dati da quella formula.
La mia equazione è proprio l'equazione del calore, solo che ha delle condizioni al contorno particolari.
Sono riuscito a risolvere in questo modo:
[tex]\int_{0}^{4\pi}\sin\left({n \over 2}x\right) \cdot \sin\left({k \over 2}x\right) dx = \delta_{n,k}[/tex]
Quindi semplicemente [tex]c_n=0[/tex] per [tex]n \ne 3[/tex]
e [tex]c_n=2[/tex] per [tex]n = 3[/tex]
Non vorrei dire che da
$2 \sin (\frac{3}{2}x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(\frac{n}{2}x)$
è abbastanza evidente stabilire quanto debbano valere i $c_n$...
$2 \sin (\frac{3}{2}x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(\frac{n}{2}x)$
è abbastanza evidente stabilire quanto debbano valere i $c_n$...
"gac":
Non vorrei dire che da
$2 \sin (\frac{3}{2}x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(\frac{n}{2}x)$
è abbastanza evidente stabilire quanto debbano valere i $c_n$...
Si infatti...alla fine basterebbe fare un confronto...
Dovete scusare il mio poco intuito ma sto studiando per questo esame e scrivendo la tesi in contemporanea...diciamo che non sto capendo più una ceppa.
Scusatemi se mi intrometto in cose che non conosco molto bene (ho studiato l'equazione del calore come un esempio di un metodo numerico per ottenere soluzioni approssimate).
La risposta di gac mi porta a dire che:
$c_n ={(2 " se " n=3), (0 " altrimenti "):}$
La soluzione dell'equazione differenziale dunque dovrebbe essere:
$u(x,t)= 2 sin((3/2) x) e^((9/4)t)$ giusto?
Ma:
$u_{x,x} = -\frac{9}{2} e^((9 t)/4) sin(\frac{3x}{2})$ mentre
$u_t = \frac{9}{2} e^((9 t)/4) sin(\frac{3x}{2})$
qualcosa non torna
La risposta di gac mi porta a dire che:
$c_n ={(2 " se " n=3), (0 " altrimenti "):}$
La soluzione dell'equazione differenziale dunque dovrebbe essere:
$u(x,t)= 2 sin((3/2) x) e^((9/4)t)$ giusto?
Ma:
$u_{x,x} = -\frac{9}{2} e^((9 t)/4) sin(\frac{3x}{2})$ mentre
$u_t = \frac{9}{2} e^((9 t)/4) sin(\frac{3x}{2})$
qualcosa non torna
"Mathematico":
Scusatemi se mi intrometto in cose che non conosco molto bene (ho studiato l'equazione del calore come un esempio di un metodo numerico per ottenere soluzioni approssimate).
La risposta di gac mi porta a dire che:
$c_n ={(2 " se " n=3), (0 " altrimenti "):}$
La soluzione dell'equazione differenziale dunque dovrebbe essere:
$u(x,t)= 2 sin((3/2) x) e^((9/4)t)$ giusto?
Ma:
$u_{x,x} = -\frac{9}{2} e^((9 t)/4) sin(\frac{3x}{2})$ mentre
$u_t = \frac{9}{2} e^((9 t)/4) sin(\frac{3x}{2})$
qualcosa non torna
Si scusate...errore mio. Utilizzando la separazione delle variabili potete facilmente vedere che la soluzione è:
u(x,t)=[tex]\sum_{n=1}^\infty c_n \cdot \sin\left({n \over 2} x\right) \cdot e^{-{n^2 \over 4} t}[/tex]
da cui la soluzione.
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