Problema di Cauchy
Ho un grandissimo dubbio sulla risoluzione del problema di Cauchy.
Quando risolvo un'equazione differenziale e mi torvo in una situazione del genere:
$\int dy/y=\int 2x dx$
Scrivo la soluzione come:
$\log y=x^2+c$
$y=e^(x+c)=e^x*e^c$
Dato che $c$ è una costante arbitraria, posso scrivere $e^c$ direttamente come $c$.
$y=c*e^x$
Se però devo risolvere un problema di Cauchy, e ho quindi delle condizioni iniziali, il valore di $c$ (ovviamente) cambia!
Ad esempio per $y(1)=1$
$1=c*e => c=1/e$
oppure:
$1=e^c => c=0$
Qual è l'errore?
Grazie.
Quando risolvo un'equazione differenziale e mi torvo in una situazione del genere:
$\int dy/y=\int 2x dx$
Scrivo la soluzione come:
$\log y=x^2+c$
$y=e^(x+c)=e^x*e^c$
Dato che $c$ è una costante arbitraria, posso scrivere $e^c$ direttamente come $c$.
$y=c*e^x$
Se però devo risolvere un problema di Cauchy, e ho quindi delle condizioni iniziali, il valore di $c$ (ovviamente) cambia!
Ad esempio per $y(1)=1$
$1=c*e => c=1/e$
oppure:
$1=e^c => c=0$
Qual è l'errore?
Grazie.
Risposte
L'errore è che usi lo stesso simbolo per denotare due costanti diverse, seppure correlate.
Se poni $\logy=x^2+c$ allora $ y= e^(x^2) e^c=ae^(x^2)$, dove si è posto $a=e^c$
Mentre la costante $c$ può assumere qualsiasi valore reale, la costante $a$ può essere soltanto positiva.
Se poni $\logy=x^2+c$ allora $ y= e^(x^2) e^c=ae^(x^2)$, dove si è posto $a=e^c$
Mentre la costante $c$ può assumere qualsiasi valore reale, la costante $a$ può essere soltanto positiva.
Ah ecco, e probabilmente il professore ha fatto questa differenza chiamando le costanti $c$ e $c'$, ma quel piccolo apice sarà andato perduto 
Grazie
Grazie
"Ale152":
Ho un grandissimo dubbio sulla risoluzione del problema di Cauchy.
Quando risolvo un'equazione differenziale e mi torvo in una situazione del genere:
$\int dy/y=\int 2x dx$
Scrivo la soluzione come:
$\log y=x^2+c$
$y=e^(x+c)$
A parte l'errore di stampa (ovviamente è $e^(x^2+c)$, invece di $e^(x+c)$), c'è qualcosa che non quadra.
Visto che la soluzione che trovi è sempre positiva, mi domando chi sia la soluzione con c.i. $y(0) = -1$
Sì, l'errore di stampa l'ho commesso
Non capisco però cosa intendi...
La soluzione che ho trovato è sempre positiva, ma la conzione iniziale che ho posto è $y(1)=1$, è normale che per $y(0)=-1$ non ci siano soluzioni... no?
O c'è qualcosa che mi sfugge? :O
Non capisco però cosa intendi...
La soluzione che ho trovato è sempre positiva, ma la conzione iniziale che ho posto è $y(1)=1$, è normale che per $y(0)=-1$ non ci siano soluzioni... no?
O c'è qualcosa che mi sfugge? :O
Se all'equazione differenziale aggiungi la condizione $y(0) = -1$ hai un problema di Cauchy paro paro a quello che tu hai presentato con la condizione $y(1)=1$.
Ovviamente non volevo aggiungere la condizione $y(0) = -1$ alla tua $y(1)=1$.
Ora, il "mio" pb di Cauchy (come il tuo) oddisfa le condizioni di esistenza ed unicità della soluzione.
Peccato che se alla tua soluzione dell'equazione differenziale impongo la condizione $y(0) = -1$ mi trovo con un pugno di mosche in mano: non la riesco a soddisfare per nessun valore della "costante arbitraria".
Cherchez l'erreur
Ovviamente non volevo aggiungere la condizione $y(0) = -1$ alla tua $y(1)=1$.
Ora, il "mio" pb di Cauchy (come il tuo) oddisfa le condizioni di esistenza ed unicità della soluzione.
Peccato che se alla tua soluzione dell'equazione differenziale impongo la condizione $y(0) = -1$ mi trovo con un pugno di mosche in mano: non la riesco a soddisfare per nessun valore della "costante arbitraria".
Cherchez l'erreur
Uhm...
Mathematica mi dà come soluzione $y=c*e^x$, e già questa cosa mi mette in crisi, perché in genere Mathematica mi dà la soluzione senza modificare la costante $c$!
Certo, con la soluzione di Mathematica la tua condizione iniziale è soddisfatta, quindi la matematica non è buggata (:lol:).
Volendo svolgere i calcoli in maniera solerte, dovrei considerare la soluzione come:
$log|y|=x^2+c$, e quindi $|y|=e^(x^2+c)$, cioè $y=\pm e^(x^2+c)$.
E così ottengo la soluzione negativa, ma in realtà continuo a non trovarmi con Mathematica!
Nel problema di Cauchy devo considerare $e^c*$, e non $c*$... giusto?
E allora cos'ha Mathematica?
Mathematica mi dà come soluzione $y=c*e^x$, e già questa cosa mi mette in crisi, perché in genere Mathematica mi dà la soluzione senza modificare la costante $c$!
Certo, con la soluzione di Mathematica la tua condizione iniziale è soddisfatta, quindi la matematica non è buggata (:lol:).
Volendo svolgere i calcoli in maniera solerte, dovrei considerare la soluzione come:
$log|y|=x^2+c$, e quindi $|y|=e^(x^2+c)$, cioè $y=\pm e^(x^2+c)$.
E così ottengo la soluzione negativa, ma in realtà continuo a non trovarmi con Mathematica!
Nel problema di Cauchy devo considerare $e^c*$, e non $c*$... giusto?
E allora cos'ha Mathematica?
"Ale152":
Volendo svolgere i calcoli in maniera solerte, dovrei considerare la soluzione come:
$log|y|=x^2+c$, e quindi $|y|=e^(x^2+c)$, cioè $y=\pm e^(x^2+c)$.
E così ottengo la soluzione negativa, ma in realtà continuo a non trovarmi con Mathematica!
fuochino
Riguardo a Mathematica, mi sa che hai fatto un errore di battitura nel dargli l'equazione. O sei tu che ti rifiuti di mettere $x^2$ all'esponente di $e$...
"Fioravante Patrone":[/quote]
[quote="Ale152"]Riguardo a Mathematica, mi sa che hai fatto un errore di battitura nel dargli l'equazione. O sei tu che ti rifiuti di mettere $x^2$ all'esponente di $e$...
Sì, ancora colpa mia
Ma non capisco cos'altro ci sia da notare...
Più che scriverla come $e^(x^2)*e^c$ non mi viene...
Forse... $e^c$ è una costante arbitraria sempre positiva, se tolgo l'esponenziale può essere sia positiva che negativa, quindi levo anche il $\pm$, ma c'è differenza tra $e^c$ e $c$!! Non posso mica risolvere il problema di Cauchy su una qualunque costante...
Tu trovi la soluzione che è $y=+-e^(x^2)*e^c$ che è la soluzione corretta.
Ora, vediamo di sistemarla: abbiamo che $c in RR$, e $e^c>0$. Chiamo $k:=+-e^c$. Poichè quindi risulta che $k in RR$, la soluzione $y=ke^(x^2)$ è equivalente a quella di sopra! Praticamente, la parte che non dipende da x, è una funzione di c: $h(c)=+-e^c$ che ha come dominio $RR$ e codominio $RR-{0}$; possiamo benissimo sostituire questa funzione con una qualsiasi altra funzione di c (a condizione che abbia però stesso dominio e codominio di quella originale): chiamiamo $h'(c)=c$, che ha come dominio $RR$ e codominio pure $RR$, ma vabbè basta tenere in considerazione che deve essere $c!=0$.
Spero sia chiaro!
Ora, vediamo di sistemarla: abbiamo che $c in RR$, e $e^c>0$. Chiamo $k:=+-e^c$. Poichè quindi risulta che $k in RR$, la soluzione $y=ke^(x^2)$ è equivalente a quella di sopra! Praticamente, la parte che non dipende da x, è una funzione di c: $h(c)=+-e^c$ che ha come dominio $RR$ e codominio $RR-{0}$; possiamo benissimo sostituire questa funzione con una qualsiasi altra funzione di c (a condizione che abbia però stesso dominio e codominio di quella originale): chiamiamo $h'(c)=c$, che ha come dominio $RR$ e codominio pure $RR$, ma vabbè basta tenere in considerazione che deve essere $c!=0$.
Spero sia chiaro!
Beh, non voglio convertire un commento su un tuo errore in una telenovela. Né farti perdere troppo tempo
Il mio post iniziale era per mettere in evidenza che NON avevi trovato l'integrale generale.
L'errore sta nel "dimenticare" il valore assoluto nel calcolare l'integrale indefinito di $1/y$. E' per quello che prima avevo detto "fuochino".
Se tu consideri solo $\log y$, poi ti trovi con l'incongruenza che ho messo in evidenza introducendo una condizione iniziale che le tue soluzioni dell'equazione differenziale non riescono a soddisfare.
Il mio post iniziale era per mettere in evidenza che NON avevi trovato l'integrale generale.
L'errore sta nel "dimenticare" il valore assoluto nel calcolare l'integrale indefinito di $1/y$. E' per quello che prima avevo detto "fuochino".
Se tu consideri solo $\log y$, poi ti trovi con l'incongruenza che ho messo in evidenza introducendo una condizione iniziale che le tue soluzioni dell'equazione differenziale non riescono a soddisfare.
Sì, la sostituzione che hai fatto mi è chiarissima.
Quello che non capisco, è QUALE costante devo trovare, quando risolvo il problema di Cauchy!
La "costante originale" è $e^c$, quindi immagino mi debba trovare $c$.
È vero che posso sostituire $e^c$ con una nuova costante $k$, ma il problema di Cauchy richiede di trovare la costante "originale", no?
Oppure devo trovare $k$ e poi ricavare $c$ da $k$?
Quello che non capisco, è QUALE costante devo trovare, quando risolvo il problema di Cauchy!
La "costante originale" è $e^c$, quindi immagino mi debba trovare $c$.
È vero che posso sostituire $e^c$ con una nuova costante $k$, ma il problema di Cauchy richiede di trovare la costante "originale", no?
Oppure devo trovare $k$ e poi ricavare $c$ da $k$?
"Fioravante Patrone":
Beh, non voglio convertire un commento su un tuo errore in una telenovela. Né farti perdere troppo tempo
Il mio post iniziale era per mettere in evidenza che NON avevi trovato l'integrale generale.
L'errore sta nel "dimenticare" il valore assoluto nel calcolare l'integrale indefinito di $1/y$. E' per quello che prima avevo detto "fuochino".
Se tu consideri solo $\log y$, poi ti trovi con l'incongruenza che ho messo in evidenza introducendo una condizione iniziale che le tue soluzioni dell'equazione differenziale non riescono a soddisfare.
Sì, questo l'avevo capito
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