Problema di Cauchy

[75america]

$\{(y^2+4y=2senx),(y(0)=0),(y'(0)=1):}$
$\lambda^2+4=0$
$Delta=-16<0$
$alpha=0$
$beta=2$
$y(x)=c_1cos2x+c_2sen2x+v_0(x)$
poi arrivato qua mi fermo perchè non so se c'è la molteplicità o meno

[Camillo]

Non c'è molteplicità in quanto il termine noto è $ 2 sen x $ ; ci sarebbe se il termine noto fosse $ 2 sen2x $ oppure $2 cos2x $ ok ??
Quindi puoi ipotizzare che la soluzione particolare della equazione completa sia del tipo $ y(x) = A senx $ e procedere applicando questa funzione nell'equazione originale , determinando così il valore di $ A $.

[75america]

ok non c'è molteplicità però non ho capito perchè tutti mi stanno dicendo devi vedere $lambda=0+i\mu$, ma io veramente ci sto perdendo, infatti ho messo quell'altro post sul forum con quet'altra equa. differe. $y^2+y=cosx$, il libro indica che c'è molteplicità però io non ho capito
allora $Delta=-4<0$
$alpha=0$
$beta=2$
$y(x)=c_1cosx+c_2senx+v_0(x)$
poi non riesco ad andare avanti perchè non mi so trovare la spiegazione sul perchè ci sia la molteplicità

[Camillo]

Le radici della equazione caratteristica sono $ lambda = 0+-1*i $ ; di conseguenza la soluzione generale della equazione differenziale omogenea è $ c_1 cos(1*x) +c_2 sen(1*x ) $ .
Ma il termine noto è proprio $cos(1*x) $ e quindi il valore $1 $ appare anche nel termine noto e c'è molteplicità .
Non puoi più cercare la soluzione particolare della equazione completa come $A cos(1*x ) $ perchè sarebbe una soluzione linearmente dipendente da quella che già hai come soluzione della omogenea e quindi non otterresti la soluzione completa dell'equazione .
Devi cercare una soluzione particolare linearmente indipendente del tipo $ Ax cosx +B x cos x $ ( il perchè lo trovi spiegato su qualunque testo ) .
Qui c'è un buon riassunto relativo alla ricerca delle soluzioni particolari :

http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375

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eqdifflin.pdf