Problema di cauchy

[algalord-votailprof]

$\{(y''+2y=x^2),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$

è un compito di esame, non ho i risultati vorrei sapere se faccio corretto il procedimento e se viene come viene a me

discriminante $isqrt2$

$y(x)=c_1cos(sqrt2(x))+c_2sen(sqrt2(x))$

$A(x)=a(x^2)+bx+c$
$A'(x)=2ax+b$
$A''(x)=2a$

sostituisco nell'equazione di partenza

$2a+2a(x^2)+2bx+2c=x^2$

$\{ (a=1/2),(b=0),(c=-1/2):}$

$A(x)=1/2(x^2)-1/2$

$Y(x)=c_1cos(sqrt2(x))+c_2sen(sqrt2(x))+ 1/2(x^2)-1/2$

$Y(0) => c_1=1/2 => cos(sqrt2(x))1/2$

$Y'(0) => c_2=0 => -1/2sen(sqrt2(x))sqrt2$

è giusto? finisce così?

[ciampax]

A parte il discriminante che vale $-8$ mentre $\pm i\sqrt{2}$ sono le radici dell'equazione algebrica associata alla equazione differenziale omogenea, come fai a calcolarti le costanti??? Dalla soluzione generale trovata, ottieni

$y'(x)=-\sqrt{2}\ c_1\ \sin(\sqrt{2}\ x)+\sqrt{2}\ c_2\ \cos(\sqrt{2}\ x)+x$

e quindi le condizioni

$c_1-1/2=0$ e $\sqrt{2}\ c_2=0$

da cui $c_1=1/2$, $c_2=0$ e la soluzione del problema $y(x)=1/2[\cos(\sqrt{2}\ x)+x^2-1]$.

[algalord-votailprof]

scusa le costanti non le trovi sostituendo y(0) in y e viene c1=1/2 c2=0; per Y'(0) c1=0 c2=0. non ho capito una cosa, ho due valori di c1 uno viene da y(0) l'altro da y'(0). perché sostituisci 1/2 invece che 0 nell'equazione generale? c2=0 sia in y che in y'

[ciampax]

"Algalord":scusa le costanti non le trovi sostituendo y(0) in y e viene c1=1/2 c2=0; per Y'(0) c1=0 c2=0. non ho capito una cosa, ho due valori di c1 uno viene da y(0) l'altro da y'(0). perché sostituisci 1/2 invece che 0 nell'equazione generale? c2=0 sia in y che in y'

Ehm, potresti tradurre in italiano? No, scherzi a parte, guarda che sostituendo le condizioni iniiali, devono venirti due equazioni in $c_1, c_2$ da mettere a sistema. Non puoi trovare due valori diversi per tali costanti, altrimenti violeresti il teorema di esistenza e unicità! Rifletti bene!

[algalord-votailprof]

se in questa $Y(x)=c_1cos(sqrt2(x))+c_2sen(sqrt2(x))+ 1/2(x^2)-1/2$ sostituisco come dice il testo dell'esercizio, 0 ovvero Y(0) mi viene c1=1/2; c2=0

se in questa $y'(x)=-\sqrt{2}\ c_1\ \sin(\sqrt{2}\ x)+\sqrt{2}\ c_2\ \cos(\sqrt{2}\ x)+x$ inserisco 0 sia c1 che c2 vengono 0.

per arrivare al risultato finale si sostituiscono c1=1/2 e c2=0 c2 è uguale anche in y'(x). la mia domanda è cosa devo farci con c1 e c2 di Y' che vengono entrambi zero?

[gugo82]

[mod="Gugo82"]Algalord, dopo 115 post mi farebbe molto piacere vederti usare MathML al pieno delle sue potenzialità.
Ti ricordo che la guida è reperibile qui.[/mod]

[ciampax]

"Algalord":se in questa $Y(x)=c_1cos(sqrt2(x))+c_2sen(sqrt2(x))+ 1/2(x^2)-1/2$ sostituisco come dice il testo dell'esercizio, 0 ovvero Y(0) mi viene c1=1/2; c2=2

se in questa $y'(x)=-\sqrt{2}\ c_1\ \sin(\sqrt{2}\ x)+\sqrt{2}\ c_2\ \cos(\sqrt{2}\ x)+x$ inserisco 0 sia c1 che c2 vengono 0.

per arrivare al risultato finale si sostituiscono c1=1/2 e c2=0 c2 è uguale anche in y'(x). la mia domanda è cosa devo farci con c1 e c2 di Y' che vengono entrambi zero?

Mi spieghi come li fai i conti??? La condizione $Y(0)=0$ fornisce

$0=c_1\cdot 1+c_2cdot 0+1/2\cdot 0-1/2=c_1-1/2$ quindi $c_1=1/2$.

Se sostituisci nell'altra, $Y'(0)=0$ ottieni

$0=-\sqrt{2}\ c_1\cdot 0+\sqrt{2}\ c_2\cdot 1+0$ quindi $c_2=0$

e sono le uniche due costanti che trovi! Come ti viene $c_2=2$ dalla prima????

[algalord-votailprof]

volevo dire $C_2=0$ cmq si ho capito.

gugo scusami ma per ogni cosa devo mettere a riscrivere il codice?

[gugo82]

"Algalord":gugo scusami ma per ogni cosa devo mettere a riscrivere il codice?

Nono...
Però da ora in poi scrivi bene, mi raccomando.

[size=75]Post n° 2500! [/size]