ProBleMa Di Cauchy

[IlaCrazy]

Come si risolve questo esercizio?
Potreste scrivermi chiaramente i passaggi?

$ y'cosy= 1+ siny $
$ y(0)= (0)$

Grazie a tutti!

[Fioravante Patrone1]

Sia $y(x)$ la soluzione del pb di Cauchy dato.

Allora:

$ y'(x) cosy(x) = 1+ siny(x) $
$ y(0)= (0)$

Visto che $1 + sin y(x)$ non si annulla mai [perché?], possiamo dividere e otteniamo:
$ \frac{y'(x) cosy(x)}{1+ siny(x)} = 1 $
$ y(0)= (0)$

Integrando da 0 a x:
$ \int_0^x \frac{y'(t) cosy(t)}{1+ siny(t)} dt= \int_0^x 1 dx$
$ y(0)= (0)$

L'integrale a primo membro è immediato:
$ log ( 1+ siny(t) ) |_0^x= x$
$ y(0)= (0)$

Quindi:
$ log ( 1+ siny(x) ) - log ( 1+ sin y(0) )= x$

Tenendo conto della c.i.:
$ log ( 1+ siny(x) ) - log ( 1+ sin (0) )= x$

Cioè:
$ log ( 1+ siny(x) ) = x$

Adesso lascio a te il divertimento di trovare esplicitamente la y(x)

s.e.o.

[IlaCrazy]

Perfetto! Ora ho capito grazie mille dell'info!
Continuo io allora:

$log|siny+1|= x+c $
$siny= e^x*k -1$
quindi $ y= arcsin(e^x*k-1)$
applicando la condizione, $arcsin(e^x*k-1) =0$ ottengo che $k=1$

Thank you!!