Problema di Cauchy
$y'=(\cotg x)y+x^{5}\sin x$
$y(0)=0$
Voi come lo risolvereste il precedente problema di Cauchy? Vien fuori un integrale improprio abbastanza bruttino...
$y(0)=0$
Voi come lo risolvereste il precedente problema di Cauchy? Vien fuori un integrale improprio abbastanza bruttino...
Risposte
I coefficienti dell'equazione sono definiti in $D:=RR\setminus \{kpi\}_(k\in ZZ)$ (insieme di definizione della cotangente); tu stai assegnando una condizione iniziale in $0\notin D$, quindi c'è qualcosa che non funziona...
Ho ricontrollato e il testo è quello. La soluzione sarebbe $y=(\sin x)(c+(x^{6})/6)$...
Allora, ho appena riesaminato la cosa.
In linea teorica, il problema è ben posto anche se la condizione iniziale è assegnata in un punto singolare dei coefficienti.
Infatti, poiché il coefficiente $a_1(x)=ctgx$ presenta in $0$ un polo d'ordine $1$ (ciò significando che risulta $lim_(x\to 0) |ctgx|=+oo, lim_(x\to 0) |ctgx|*|x|=1$), tale punto singolare è del tipo regolare e quindi gli integrali dell'equazione hanno in $0$ almeno un punto di continuità (per un teorema di Fuchs).
Passiamo alla pratica.
Per risolvere il problema basta determinare l'integrale generale dell'omogenea associata e poi applicare il metodo di Lagrange per determinare un integrale particolare dell'equazione completa.
L'omogenea associata è $y'=ctgx*y$ da cui, con un po' di passaggi che non sto a trascrivere, si ricava $\bar(y)(x)=c*sinx$ con $c\in RR$.
Applichiamo il metodo di Lagrange: supponiamo che l'integrale particolare $v(x)$ dell'equazione completa si rappresenti come prodotto di $sinx$ per una funzione incognita $gamma(x)$; affinché la $v(x)=gamma(x)*sinx$ soddisfi l'equazione completa è necessario e sufficiente che risulti:
$[gamma(x)*sinx]'=ctgx*[gamma(x)*sin x]+x^5*sinx \quad \Leftrightarrow \quad gamma'(x)*sinx +gamma(x)*cosx=cosx*gamma(x)+x^5*sinx \quad \Leftrightarrow \quad gamma'(x)*sin x=x^5*sinx \quad$;
l'ultima uguaglianza implica che $[gamma'(x)-x^5]*sinx=0$ ed, affinché tale relazione sussista per ogni $x$ intorno a $0$, è necessario e sufficiente che $gamma'(x)-x^5=0$, e ciò equivale a dire che:
$gamma(x)=x^6/6 "(" +" costante)"\quad$.
Ne viene che un integrale particolare cercato è $v(x)=x^6/6*sinx$, cosicché l'integrale completo della tua equazione è:
(*) $\quad y(x;c)=v(x)+\bar(y)(x)=(x^6/6+c)*sinx \quad$.
La (*) ti fornisce due risultati: il primo è una conferma di quanto ottenuto per via teorica (infatti, comunque fissi $c$, la $y(x;c)$ ha in $x=0$ un punto di continuità); il secondo è che il problema di Cauchy ha per soluzione ogni integrale dell'equazione completa, giacché risulta $y(0;c)=c*sin0=0$ per ogni $c$.
In particolare, quindi, non vale il teorema di unicità se assegni a condizione iniziale in $0$.
In linea teorica, il problema è ben posto anche se la condizione iniziale è assegnata in un punto singolare dei coefficienti.
Infatti, poiché il coefficiente $a_1(x)=ctgx$ presenta in $0$ un polo d'ordine $1$ (ciò significando che risulta $lim_(x\to 0) |ctgx|=+oo, lim_(x\to 0) |ctgx|*|x|=1$), tale punto singolare è del tipo regolare e quindi gli integrali dell'equazione hanno in $0$ almeno un punto di continuità (per un teorema di Fuchs).
Passiamo alla pratica.
Per risolvere il problema basta determinare l'integrale generale dell'omogenea associata e poi applicare il metodo di Lagrange per determinare un integrale particolare dell'equazione completa.
L'omogenea associata è $y'=ctgx*y$ da cui, con un po' di passaggi che non sto a trascrivere, si ricava $\bar(y)(x)=c*sinx$ con $c\in RR$.
Applichiamo il metodo di Lagrange: supponiamo che l'integrale particolare $v(x)$ dell'equazione completa si rappresenti come prodotto di $sinx$ per una funzione incognita $gamma(x)$; affinché la $v(x)=gamma(x)*sinx$ soddisfi l'equazione completa è necessario e sufficiente che risulti:
$[gamma(x)*sinx]'=ctgx*[gamma(x)*sin x]+x^5*sinx \quad \Leftrightarrow \quad gamma'(x)*sinx +gamma(x)*cosx=cosx*gamma(x)+x^5*sinx \quad \Leftrightarrow \quad gamma'(x)*sin x=x^5*sinx \quad$;
l'ultima uguaglianza implica che $[gamma'(x)-x^5]*sinx=0$ ed, affinché tale relazione sussista per ogni $x$ intorno a $0$, è necessario e sufficiente che $gamma'(x)-x^5=0$, e ciò equivale a dire che:
$gamma(x)=x^6/6 "(" +" costante)"\quad$.
Ne viene che un integrale particolare cercato è $v(x)=x^6/6*sinx$, cosicché l'integrale completo della tua equazione è:
(*) $\quad y(x;c)=v(x)+\bar(y)(x)=(x^6/6+c)*sinx \quad$.
La (*) ti fornisce due risultati: il primo è una conferma di quanto ottenuto per via teorica (infatti, comunque fissi $c$, la $y(x;c)$ ha in $x=0$ un punto di continuità); il secondo è che il problema di Cauchy ha per soluzione ogni integrale dell'equazione completa, giacché risulta $y(0;c)=c*sin0=0$ per ogni $c$.
In particolare, quindi, non vale il teorema di unicità se assegni a condizione iniziale in $0$.
Il tuo procedimento è molto chiaro, ma mi rimangono due domande:
- Per metodo di Lagrange intendi quello di variazione delle costanti?
- (collegata alla precedente) perché si suppone che $v(x)=\sin(x)y(x)$
- Per metodo di Lagrange intendi quello di variazione delle costanti?
- (collegata alla precedente) perché si suppone che $v(x)=\sin(x)y(x)$
Prima domanda: sì, sto applicando il metodo della variazione delle costanti di Lagrange.
Seconda domanda: si suppone che $v(x)=gamma(x)*sinx$ perchè l'integrale generale dell'omogenea è $c*sinx$ (quindi quando vai ad applicare Lagrange devi sostituire alla costante $c$ una funzione ausiliaria incognita $gamma(x)$ [è gamma, non $y$, anche se le due lettere sembrano simili!
]).
Seconda domanda: si suppone che $v(x)=gamma(x)*sinx$ perchè l'integrale generale dell'omogenea è $c*sinx$ (quindi quando vai ad applicare Lagrange devi sostituire alla costante $c$ una funzione ausiliaria incognita $gamma(x)$ [è gamma, non $y$, anche se le due lettere sembrano simili!
]).
Prima domanda: sì, sto applicando il metodo della variazione delle costanti di Lagrange.
Il punto è che se applico questo metodo, in un certo senso "baro": l'esercizio è infatti antecedente a quelli relativi all'applicazione del metodo di Lagrange. Quindi suppongo debba esistere un altro modo, forse più macchinoso, ma probabilmente più basilare, per arrivare alla soluzione. Con la formula che si usa per ricavare direttamente la soluzione non mi è riuscito... cos'altro rimane?
Le equazioni a coefficienti non costanti le ho sempre risolte con Lagrange, quindi non so.
"lore":
Con la formula che si usa per ricavare direttamente la soluzione non mi è riuscito... cos'altro rimane?
La formula che tu citi (presumo sia la formula risolutiva per le equazioni lineari del primo ordine) non è altro che un caso particolare del metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
Cos'altro rimane? Nulla(*), volendo restare entro l'approccio classico della ricerca di soluzione mediante "quadrature" (ovvero integrazioni). I metodi di integrazione per serie o numerici non mi pare siano quelli invocati.
(*) [size=75]A meno che questa non sia per me una occasione per imparare qualcosa![/size]
"Gugo82":
il secondo è che il problema di Cauchy ha per soluzione ogni integrale dell'equazione completa, giacché risulta $y(0;c)=c*sin0=0$ per ogni $c$.
In particolare, quindi, non vale il teorema di unicità se assegni a condizione iniziale in $0$.
mi chiedevo come coniugare questo fatto con il teorema di esistenza e unicità delle soluzioni delle ODE.....
"alle.fabbri":
[quote="Gugo82"]
il secondo è che il problema di Cauchy ha per soluzione ogni integrale dell'equazione completa, giacché risulta $y(0;c)=c*sin0=0$ per ogni $c$.
In particolare, quindi, non vale il teorema di unicità se assegni a condizione iniziale in $0$.
mi chiedevo come coniugare questo fatto con il teorema di esistenza e unicità delle soluzioni delle ODE.....[/quote]
La coniugazione è semplice: non valgono le ipotesi del teorema di esistenza e unicità.
quali?
Secondo te?
il fatto è che non me le ricordo molto bene le ipotesi del teorema....
I coefficienti dell'equazione addirittura non sono continui nel punto in cui è assegnata la condizione iniziale: quindi non sono soddisfatte le ipotesi del Teorema di Peano (circa la sola esistenza di soluzioni), figuriamoci quelle del Teorema di esistenza ed unicità (che poi sarebbero continuità e lipschitzianità dei coefficienti)...
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