Problema di Cauchy
salve ragazzi,
ho questo problema di Cauchy:
$\{(y''+4y=2senx),(y(0)=0),(y'(0)=1):}$
allora o mi riesco anche a calcolare la primitiva ma il problema è che non so quando devo imporre le condizioni per avere l'integrale generale,
potreste aiutarmi voi.
Grazie
ho questo problema di Cauchy:
$\{(y''+4y=2senx),(y(0)=0),(y'(0)=1):}$
allora o mi riesco anche a calcolare la primitiva ma il problema è che non so quando devo imporre le condizioni per avere l'integrale generale,
potreste aiutarmi voi.
Grazie
Risposte
allora ho cercato di iniziarlo:
allora l'equazione caratteristica dell'omogena associata è $\lambda^2+4=0$
le radici sono: $\alpha=0$ $\beta=2$ $y(x)=c_1cos2x+c2sen2x$
poi però non mi riesco a calcolare v_0(x) ovveo l'integrale particolare
raga per favore aiutatemi dmn ho l'esame
allora l'equazione caratteristica dell'omogena associata è $\lambda^2+4=0$
le radici sono: $\alpha=0$ $\beta=2$ $y(x)=c_1cos2x+c2sen2x$
poi però non mi riesco a calcolare v_0(x) ovveo l'integrale particolare
raga per favore aiutatemi dmn ho l'esame
se ho interpretato bene i dati devi fare cosi
-sostituisci a y(x) la prima soluzione particolare y(0)=0
provo a fare i calcoli qui sotto
$0=c_1cos(0)+c_2sin(0) ->c_1=0$
-calcola la derivata di y(x),e sostiuisci la seconda soluzione particolare y'(0)=1
provo anche qui a farti i calcoli
$y'(x)=-2c_1sin(2x)+2c_2cos(2x)$ la derivata dovrebbe essere questa
ora sostituisci la soluzione particolare
$1=-2c_1sin(0)+2c_2cos(0)->1=2c_2->c_2=1/2$
la soluzione del problema di cauchy dovrebbe dunque essere
$y(x)=1/2sin(2x)
spero che sia tutto corretto
-sostituisci a y(x) la prima soluzione particolare y(0)=0
provo a fare i calcoli qui sotto
$0=c_1cos(0)+c_2sin(0) ->c_1=0$
-calcola la derivata di y(x),e sostiuisci la seconda soluzione particolare y'(0)=1
provo anche qui a farti i calcoli
$y'(x)=-2c_1sin(2x)+2c_2cos(2x)$ la derivata dovrebbe essere questa
ora sostituisci la soluzione particolare
$1=-2c_1sin(0)+2c_2cos(0)->1=2c_2->c_2=1/2$
la soluzione del problema di cauchy dovrebbe dunque essere
$y(x)=1/2sin(2x)
spero che sia tutto corretto
se è giusto grazie moltissimo mi hai salvato la vita 
grande
grande
Apro con una nota tecnica: $alpha,beta$ non sono le radici del polinomio caratteristico... Casomai i numeri complessi $lambda=alpha +beta i$ e $bar(lambda)=alpha-beta i$ sono tali radici.
Ad ogni modo, hai determinato facilmente e correttamente l'integrale generale dell'omogenea associata.
Ora rimane da determinare una soluzione particolare $v_0$ dell'equazione completa: per fare ciò conviene guardare com'è fatto il termine noto e provare a cercare una soluzione "abbastanza simile" ad esso.
Nel caso in esame, il termine noto è del tipo $e^(ax)[p(x) cosbx +q(x) sin bx]$ ($a,b\in RR$ e $p,q$ polinomi): infatti per ottenere $2sinx$ dalla precedente espressione generale occorre e basta prendere $a=0,b=1,p(x)=0,q(x)=2$ (come si vede facilmente sostituendo).
In casi come questi, la soluzione $v_0$ è da cercarsi nella forma $x^m e^(ax)[P(x) cos bx +Q(x) sin bx]$, con $a,b$ quelli del termine noto, $P(x),Q(x)$ polinomi di grado uguale al più grande dei gradi di $p(x),q(x)$ ed:
$m=0 ", se " a pm b i " non sono radici del polinomio caratteristico"\quad$ oppure
$m="molteplicità di " a+bi " come radic""e del polinomio caratteristico, se " a pm bi " sono radici di tale polinomio"$
Vediamo di riportare tutto al nostro caso: innanzitutto notiamo che $a pm bi=pm i$ non è radice del polinomio caratteristico, quindi dobbiamo prendere $m=0$; poi vediamo che, essendo $p(x)=0,q(x)=2$ polinomi costanti (di grado zero), i polinomi $P(x),Q(x)$ devono essere costanti ossia $P(x)=K_1, Q(x)=K_2$. Mettendo insieme le informazioni, il problema della determinazione di $v_0$ è quello di determinare $K_1,K_2\in RR$ in modo che la funzione:
$v_0(x)=x^0 e^(0x) [K_1 cos 1x+K_2 sin1x]=K_1 cosx +K_2 sinx$
risolva l'equazione completa.
Per determinare le costanti $K_1,K_2$ basta derivare $v_0$ due volte, sostituire $v_0,v_0',v_0''$ nell'equazione ed applicare il principio d'identità dei polinomi.
Nota Bene: fin qui non si usano le condizioni iniziali!
Supponiamo di aver fatto i conti ed aver determinato effettivamente $K_1,K_2$, cosicché conosciamo la $v_0$: l'integrale generale dell'equazione si scrive $y(x)=v_0(x)+c_1cos 2x+c_2 sin 2x$ e per risolvere il problema bisogna determinare $c_1,c_2$ in modo che vengano verificate le due condizioni iniziali.
Per fare ciò si deriva l'integrale generale (ottenendo $y'(x)=v_0'(x)+2c_2cos 2x-2c_1sin 2x$) ed, imponendo le condizioni iniziali, si imposta il sistema lineare nelle incognite $c_1,c_2$:
$\{(v_0(0)+c_1 cos (2*0)+c_2 sin (2*0)=0),(v_0'(0)+2c_2 cos(2*0)-2c_1 sin (2*0)=1):} \quad \Leftrightarrow \quad \{(v_0(0)+c_1 =0),(v_0'(0)+2c_2 cos(2*0)=1):}$
da cui si ottengono facilmente le due costanti $c_1,c_2$:
$\{(c_1=-v_0(0)),(c_2=-1/2 v_0'(0)):}$
Ad ogni modo, hai determinato facilmente e correttamente l'integrale generale dell'omogenea associata.
Ora rimane da determinare una soluzione particolare $v_0$ dell'equazione completa: per fare ciò conviene guardare com'è fatto il termine noto e provare a cercare una soluzione "abbastanza simile" ad esso.
Nel caso in esame, il termine noto è del tipo $e^(ax)[p(x) cosbx +q(x) sin bx]$ ($a,b\in RR$ e $p,q$ polinomi): infatti per ottenere $2sinx$ dalla precedente espressione generale occorre e basta prendere $a=0,b=1,p(x)=0,q(x)=2$ (come si vede facilmente sostituendo).
In casi come questi, la soluzione $v_0$ è da cercarsi nella forma $x^m e^(ax)[P(x) cos bx +Q(x) sin bx]$, con $a,b$ quelli del termine noto, $P(x),Q(x)$ polinomi di grado uguale al più grande dei gradi di $p(x),q(x)$ ed:
$m=0 ", se " a pm b i " non sono radici del polinomio caratteristico"\quad$ oppure
$m="molteplicità di " a+bi " come radic""e del polinomio caratteristico, se " a pm bi " sono radici di tale polinomio"$
Vediamo di riportare tutto al nostro caso: innanzitutto notiamo che $a pm bi=pm i$ non è radice del polinomio caratteristico, quindi dobbiamo prendere $m=0$; poi vediamo che, essendo $p(x)=0,q(x)=2$ polinomi costanti (di grado zero), i polinomi $P(x),Q(x)$ devono essere costanti ossia $P(x)=K_1, Q(x)=K_2$. Mettendo insieme le informazioni, il problema della determinazione di $v_0$ è quello di determinare $K_1,K_2\in RR$ in modo che la funzione:
$v_0(x)=x^0 e^(0x) [K_1 cos 1x+K_2 sin1x]=K_1 cosx +K_2 sinx$
risolva l'equazione completa.
Per determinare le costanti $K_1,K_2$ basta derivare $v_0$ due volte, sostituire $v_0,v_0',v_0''$ nell'equazione ed applicare il principio d'identità dei polinomi.
Nota Bene: fin qui non si usano le condizioni iniziali!
Supponiamo di aver fatto i conti ed aver determinato effettivamente $K_1,K_2$, cosicché conosciamo la $v_0$: l'integrale generale dell'equazione si scrive $y(x)=v_0(x)+c_1cos 2x+c_2 sin 2x$ e per risolvere il problema bisogna determinare $c_1,c_2$ in modo che vengano verificate le due condizioni iniziali.
Per fare ciò si deriva l'integrale generale (ottenendo $y'(x)=v_0'(x)+2c_2cos 2x-2c_1sin 2x$) ed, imponendo le condizioni iniziali, si imposta il sistema lineare nelle incognite $c_1,c_2$:
$\{(v_0(0)+c_1 cos (2*0)+c_2 sin (2*0)=0),(v_0'(0)+2c_2 cos(2*0)-2c_1 sin (2*0)=1):} \quad \Leftrightarrow \quad \{(v_0(0)+c_1 =0),(v_0'(0)+2c_2 cos(2*0)=1):}$
da cui si ottengono facilmente le due costanti $c_1,c_2$:
$\{(c_1=-v_0(0)),(c_2=-1/2 v_0'(0)):}$
ma dimmi la mia intuizione,e quindi il mio processo risolutivo,sono corretti lo stesso?
ps:scusa la domanda ma sono parecchio stanco e non riesco bene a ragionare su quello che hai detto
ps:scusa la domanda ma sono parecchio stanco e non riesco bene a ragionare su quello che hai detto
Nel caso in esame, no.
Infatti, procedendo come fai tu, ti "perdi per strada" il contributo alle costanti dovuto alla presenza dell'integrale particolare $v_0$.
Però il tuo metodo sarebbe stato corretto se l'equazione fosse stata omogenea, evidentemente.
Infatti, procedendo come fai tu, ti "perdi per strada" il contributo alle costanti dovuto alla presenza dell'integrale particolare $v_0$.
Però il tuo metodo sarebbe stato corretto se l'equazione fosse stata omogenea, evidentemente.
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