Problema di cauchy 5
${(y'(x)=(cos x)/sqrt(y+1)),(y(0) =1):}$
Di regola dovrebbe essere una equazione differenziale lineare quindi si dovrebbe presentare in questo modo
Quindi la mia soluzione sarà
$y(x)=e^(-A(x))(int e^(A(x)) f(x) dx +c)$
$c$ la calcolerò con la cond. supplementare
$A(x)=int a(x) dx$ la calcolo così
Di regola dovrei utilizzare questo metodo dove $a(x)$ ef $f(x)$ in un equazione generale sono così $y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$...penso che nella equazione che dovrei trovare la soluzione $a(x)=cos x$ e $ f(x)=0$
È giusto il ragionamento ?
allora per svolgerlo calcolo
$A(x)=int cos x dx=sen x$
$y(x)=e^(-sen x) (int e^(senx ) 0 dx)=e^(-sen x) c$
$y(0)=1$
$y(0)=e^(-sen 0)=e^(0) c=1$
da cui si ricava che $c=1$ esatto?
quindi la soluzione sarà
$y(x)=e^(-sen x)$
Di regola dovrebbe essere una equazione differenziale lineare quindi si dovrebbe presentare in questo modo
Quindi la mia soluzione sarà
$y(x)=e^(-A(x))(int e^(A(x)) f(x) dx +c)$
$c$ la calcolerò con la cond. supplementare
$A(x)=int a(x) dx$ la calcolo così
Di regola dovrei utilizzare questo metodo dove $a(x)$ ef $f(x)$ in un equazione generale sono così $y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$...penso che nella equazione che dovrei trovare la soluzione $a(x)=cos x$ e $ f(x)=0$
È giusto il ragionamento ?
allora per svolgerlo calcolo
$A(x)=int cos x dx=sen x$
$y(x)=e^(-sen x) (int e^(senx ) 0 dx)=e^(-sen x) c$
$y(0)=1$
$y(0)=e^(-sen 0)=e^(0) c=1$
da cui si ricava che $c=1$ esatto?
quindi la soluzione sarà
$y(x)=e^(-sen x)$
Risposte
No.
E' alle variabili separabili, quindi
$sqrt(y+1)y'=cosx$
$=>int_1^ysqrt(u+1)du=int_0^xcostdt$
E' alle variabili separabili, quindi
$sqrt(y+1)y'=cosx$
$=>int_1^ysqrt(u+1)du=int_0^xcostdt$
"Brancaleone":
No.
E' alle variabili separabili, quindi
$sqrt(y+1)y'=cosx$
$=>int_1^ysqrt(u+1)du=int_0^xcostdt$
qundi la soluzione sarebbe: $2/3(sqrt((y(x)+1)^3))-2/3=sen x$
$y(x)=root(3)(9/4(sen x +2/3)^2)-1$ eatto?
C'è un errore:
$int_1^ysqrt(u+1)du=2/3[sqrt((u+1)^3)]_1^y=2/3(sqrt((y+1)^3)-sqrt(2^3))=2/3(sqrt((y+1)^3)-4sqrt2)$
$int_0^xcostdt=[sin(t)]_0^x=sin(x)$
$=>2/3(sqrt((y+1)^3)-4sqrt2)=sin(x)$
Se lo vuoi esplicitare:
$sqrt((y+1)^3)=3/2sin(x)+4sqrt2$
$(y+1)^3=(3/2sin(x)+4sqrt2)^2$
$y=root(3)((3/2sin(x)+4sqrt2)^2)-1$
$int_1^ysqrt(u+1)du=2/3[sqrt((u+1)^3)]_1^y=2/3(sqrt((y+1)^3)-sqrt(2^3))=2/3(sqrt((y+1)^3)-4sqrt2)$
$int_0^xcostdt=[sin(t)]_0^x=sin(x)$
$=>2/3(sqrt((y+1)^3)-4sqrt2)=sin(x)$
Se lo vuoi esplicitare:
$sqrt((y+1)^3)=3/2sin(x)+4sqrt2$
$(y+1)^3=(3/2sin(x)+4sqrt2)^2$
$y=root(3)((3/2sin(x)+4sqrt2)^2)-1$
"Brancaleone":
C'è un errore:
$int_1^ysqrt(u+1)du=2/3[sqrt((u+1)^3)]_1^y=2/3(sqrt((y+1)^3)-sqrt(2^3))=2/3(sqrt((y+1)^3)-4sqrt2)$
$int_0^xcostdt=[sin(t)]_0^x=sin(x)$
$=>2/3(sqrt((y+1)^3)-4sqrt2)=sin(x)$
Se lo vuoi esplicitare:
$sqrt((y+1)^3)=3/2sin(x)+4sqrt2$
$(y+1)^3=(3/2sin(x)+4sqrt2)^2$
$y=root(3)((3/2sin(x)+4sqrt2)^2)-1$
si infatti...volevo chiederti una cosa:ma questa soluzione vale per tutte le $x$ al di fuori delle $x=(pi n)-pi/2$ visto che questa soluzione si applica quando $(cos x)/sqrt 2!=0$ ??
Perché $cos(x)/sqrt2ne0$ (cioè $xnekpi/2$) non andrebbe bene?
"Brancaleone":
Perché $cos(x)/sqrt2ne0$ (cioè $xnekpi/2$) non andrebbe bene?
nn ne sono sicuro ma sulle mie dispense cè scritto che per equazioni differenziali lineari a variabili separabili
con eq del tipo ${(y'(x)=a(x) b(y(x))),(y(x_0)=y_0):}$
se $b(y_0)=b(y(x_0))=0$ allora il problema ha come soluzione la funzione costante $y(x)=y_0$ soluzione stazionaria se invece $b(y_0)!=0$ allora si procede come abbiamo fatto
è cosi?
Ok, ma qui qual è la $b(y(x))$?
"Brancaleone":
Ok, ma qui qual è la $b(y(x))$?
Dovrebbe essere $1/(sqrt(y+1))$
Almeno credo
Bene, quindi dobbiamo semmai porre attenzione a $1/(sqrt(y+1))ne 0$ (e non a $cos(x)/sqrt2 ne 0$)
"Brancaleone":
Bene, quindi dobbiamo semmai porre attenzione a $1/(sqrt(y+1))ne 0$ (e non a $cos(x)/sqrt2 ne 0$)
Quindi vado a sostituire alla$y=1$ e mi viene $1/sqrt (2) !=0$ esatto?
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