Problema di cauchy

[ninja986]

Studiare il seguente problema di Cauchy

$\{(y'(x) = (y^2-y)/x),(y(1) = 2):}$

[Camillo]

[mod="Camillo"]Vorremmo vedere un tuo tentativo di soluzione [/mod]

[ninja986]

scusami...mi sn scordato di postarlo...

studio separatamente $y'(x)=y^2/x$ e $y'(x)=y/x$ cioè
considerando $y'(x) = y_1 - y_2$ posso ottenere le soluzioni di questa eq.differenziale come differenza delle soluzioni di $y'(x) = y_1$ e $y'(x) = y_2$

1) giusto???

studiando ora $y'(x)=y^2/x$ posso separare le variabili, e effettuando l'integrale ho che $-1/y =log x + c$

2)volendo trovare la soluzione effettuo il reciproco...solo ke nn so come scrivere...cioe devo scrivere $y=-1/(logx +c)$ oppure $y=-1/logx +c)$ ???

3) per la seconda soluzione ho che $log y=logx +c$...per cui la soluzione è $y=e^(logx+c)=xe^c$ oppure $y=x+c$

per i punti 2e3 ho messo 2 possibilita perche mi ricordo che siccome c è una costante allora posso non considerarla nelle operazioni x arrivare alla soluzione...ma posso aggiungerla alla fine..vero??o sbaglio??

[Sidereus1]

"ninja986":Studiare il seguente problema di Cauchy

$\{(y'(x) = (y^2-y)/x),(y(1) = 2):}$

$(y')/(y^2-y) = 1/x$

$d/dx log(1-1/y) = 1/x$

$log (1-1/y) = log (c x)$

$y = 1/ (1-cx)$. Essendo y(1) = 2, risulta c = 1/2, per cui

$y = 2/(2-x)$