Problema di Cauchy
ciao.....ultimamente i miei "problemi" si stanno concentrando sul "problema" di Cauchy (scusate il gioco di parole, ma nn poteva avere nome piu appropriato: è davvero un problema!!)
dunque, fino ad adesso mi sono trovato di fronte a problemi di cauchy in cui la y che compariva nell'equazione della y' era sempre di primo grado....ma oggi me ne sono trovato uno in cui la y è di secondo grado e nn so come impostarlo....potreste darmi una mano???
ESERCIZIO: la soluzione massimale y(x) del problema di cauchy
$\{(y' = xy^2), (y(1)=-1):}$
a) ha minimo (*)
b) è strettamente crescente
c) ha massimo
d) è limitata
e) soddisfa altro
prima che me lo chiediate voi, vi rispondo io....non posso mettere una mia ipotesi perchè nn so proprio farlo con la y di secondo grado, mi dovreste proprio spiegare il procedimento...poi gli altri simili provo a farli e se nn mi escono vi posto le mie ipotesi...ma per adesso vorrei proprio capire da che parte cominciare. GRAZIE..CIAO!!!
dunque, fino ad adesso mi sono trovato di fronte a problemi di cauchy in cui la y che compariva nell'equazione della y' era sempre di primo grado....ma oggi me ne sono trovato uno in cui la y è di secondo grado e nn so come impostarlo....potreste darmi una mano???
ESERCIZIO: la soluzione massimale y(x) del problema di cauchy
$\{(y' = xy^2), (y(1)=-1):}$
a) ha minimo (*)
b) è strettamente crescente
c) ha massimo
d) è limitata
e) soddisfa altro
prima che me lo chiediate voi, vi rispondo io....non posso mettere una mia ipotesi perchè nn so proprio farlo con la y di secondo grado, mi dovreste proprio spiegare il procedimento...poi gli altri simili provo a farli e se nn mi escono vi posto le mie ipotesi...ma per adesso vorrei proprio capire da che parte cominciare. GRAZIE..CIAO!!!
Risposte
Osserva che l'equazione differenziale è a variabili separabili e può essere scritta come:
$y^(-2)*y' = x$
Da cui poi:
$\int y^(-2) dy = \int x dx$
$-y^(-1) = x^2 - c$
soluzione finale:
$y=1/(c-x^2)$
Impongo la condizione iniziale e trovo $c$, la soluzione al problema di Cauchy.
$y=-1/(x^2)$
Da qui poi la fine dell'esercizio. A te il resto
$y^(-2)*y' = x$
Da cui poi:
$\int y^(-2) dy = \int x dx$
$-y^(-1) = x^2 - c$
soluzione finale:
$y=1/(c-x^2)$
Impongo la condizione iniziale e trovo $c$, la soluzione al problema di Cauchy.
$y=-1/(x^2)$
Da qui poi la fine dell'esercizio. A te il resto
non dovrebbe essere $\int y^(-2) y' dy$ = $\int x dx$ ?? non capisco il primo passaggio.....
cioè perchè è scomparsa la y'??
cioè perchè è scomparsa la y'??
"mikelozzo":
non dovrebbe essere $\int y^(-2) y' dy$ = $\int x dx$ ?? non capisco il primo passaggio.....
cioè perchè è scomparsa la y'??
La $y'$ non scompare!!! In questo caso o segui il metodo Urang-Utang più volte citato, oppure osservi che:
$\int y^(-2)(x) y'(x) dx$ = $\int y^(-2) dy$
quindi un chiarimento....quando integro...lo faccio sempre per la variabile dx (anche dove ci sono le y) e poi trasformo attraverso quella posizione il dx in dy???
è questo il ragionamento???
è questo il ragionamento???
Sì
a ok...grazie!! =)
Certo, come dice Lord K si integrano entrambi i membri rispetto alla stessa variabile, la "x".
Col metodo scimmiesco "sembra" di integrare rispetto alla "y" da una parte (di solito a sx...) ma in realtà c'è di mezzo un integrale per sostituzione.
Col metodo scimmiesco "sembra" di integrare rispetto alla "y" da una parte (di solito a sx...) ma in realtà c'è di mezzo un integrale per sostituzione.
$\int x dx$ non dovrebbe essere $x^2/2$ e non $x^2$ e basta??
e perchè hai messo $x^2 - c$ e non $x^2+c$
mi riferisco al passaggio dopo l'integrazione a destra e a sinistra...ciao grazie
e perchè hai messo $x^2 - c$ e non $x^2+c$
mi riferisco al passaggio dopo l'integrazione a destra e a sinistra...ciao grazie
Sì mi sono dimenticato l'$1/2$ riscrivo completamente.
$-y^(-1)=1/2x^2-c$
Osserva che $c$ è una costante e può essere negativa o positiva in base ad una nostra scelta, se ci pensi quindi che scriva $+c$ o $-c$ poca differenza fa.
$-y^(-1)=1/2x^2-c$
Osserva che $c$ è una costante e può essere negativa o positiva in base ad una nostra scelta, se ci pensi quindi che scriva $+c$ o $-c$ poca differenza fa.
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