Problema di Cauchy

mikelozzo
ciao.....ultimamente i miei "problemi" si stanno concentrando sul "problema" di Cauchy (scusate il gioco di parole, ma nn poteva avere nome piu appropriato: è davvero un problema!!)

dunque, fino ad adesso mi sono trovato di fronte a problemi di cauchy in cui la y che compariva nell'equazione della y' era sempre di primo grado....ma oggi me ne sono trovato uno in cui la y è di secondo grado e nn so come impostarlo....potreste darmi una mano???

ESERCIZIO: la soluzione massimale y(x) del problema di cauchy

$\{(y' = xy^2), (y(1)=-1):}$

a) ha minimo (*)
b) è strettamente crescente
c) ha massimo
d) è limitata
e) soddisfa altro

prima che me lo chiediate voi, vi rispondo io....non posso mettere una mia ipotesi perchè nn so proprio farlo con la y di secondo grado, mi dovreste proprio spiegare il procedimento...poi gli altri simili provo a farli e se nn mi escono vi posto le mie ipotesi...ma per adesso vorrei proprio capire da che parte cominciare. GRAZIE..CIAO!!! :-D

Risposte
Lord K
Osserva che l'equazione differenziale è a variabili separabili e può essere scritta come:

$y^(-2)*y' = x$

Da cui poi:

$\int y^(-2) dy = \int x dx$
$-y^(-1) = x^2 - c$

soluzione finale:

$y=1/(c-x^2)$

Impongo la condizione iniziale e trovo $c$, la soluzione al problema di Cauchy.

$y=-1/(x^2)$

Da qui poi la fine dell'esercizio. A te il resto ;)

mikelozzo
non dovrebbe essere $\int y^(-2) y' dy$ = $\int x dx$ ?? non capisco il primo passaggio.....

cioè perchè è scomparsa la y'?? :oops:

Lord K
"mikelozzo":
non dovrebbe essere $\int y^(-2) y' dy$ = $\int x dx$ ?? non capisco il primo passaggio.....

cioè perchè è scomparsa la y'?? :oops:


La $y'$ non scompare!!! In questo caso o segui il metodo Urang-Utang più volte citato, oppure osservi che:

$\int y^(-2)(x) y'(x) dx$ = $\int y^(-2) dy$

mikelozzo
quindi un chiarimento....quando integro...lo faccio sempre per la variabile dx (anche dove ci sono le y) e poi trasformo attraverso quella posizione il dx in dy???

è questo il ragionamento???

Lord K

mikelozzo
a ok...grazie!! =)

Fioravante Patrone1
Certo, come dice Lord K si integrano entrambi i membri rispetto alla stessa variabile, la "x".

Col metodo scimmiesco "sembra" di integrare rispetto alla "y" da una parte (di solito a sx...) ma in realtà c'è di mezzo un integrale per sostituzione.

mikelozzo
$\int x dx$ non dovrebbe essere $x^2/2$ e non $x^2$ e basta??
:roll:

e perchè hai messo $x^2 - c$ e non $x^2+c$

mi riferisco al passaggio dopo l'integrazione a destra e a sinistra...ciao grazie

Lord K
Sì mi sono dimenticato l'$1/2$ riscrivo completamente.

$-y^(-1)=1/2x^2-c$

Osserva che $c$ è una costante e può essere negativa o positiva in base ad una nostra scelta, se ci pensi quindi che scriva $+c$ o $-c$ poca differenza fa.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.