Problema di Cauchy

[Knuckles1]

Determinare per quali valori di alfa il problema ha una e una soluzione:

$\{(y'(x)=(x(y^2(x)+2y(x)+2))/(x^2-3x+2)),(y(\alpha)=0):}$

come si fa?

io ho pensato di trovare prima l'integrale generale e poi sostituire la condizione... ma come faccio a imporre l'unicità di una certa soluzione per un dato alfa?

[Lord K]

Non ricordo benissimo, ma credo che sia come sotto:

Ripulendo il tutto:

$(y')/((y+1)^2+1) = x/((x-2)(x-1))$

Da cui:

$arctg(y+1) = 2/3ln(x-2)+1/3ln(x-1)+c$

quindi la soluzione esiste unica se: $alpha!in {x in RR:x>1}$ in sostanza l'insieme di esistenza della soluzione.

[Knuckles1]

non ho capito da dove tiri fuori $\alpha notin {x in RR:x>1}$....

cmq io ho fatto così...

trovato
$arctg(y+1)=2ln(x-2)-ln(x+1)+c$
$arctg(y+1)=ln((x-2)^2/(x+1))+c$ controlla l'integrale mi sa che hai sbagliato...ma non voglio dire cazzate...

dopo di che $y+1=tg(ln((x-2)^2/(x+1))+c)$

$y=tg(ln((x-2)^2/(x+1))+c)-1$

dopodichè so che la tg è compresa fra -pi mezzi e pi mezzi

$rArr \-pi/2
da cui: $e^(\-pi/2)-c<(x-2)^2/(x+1)
però poi non so più cosa fare....

[Knuckles1]

ma sono un deficiente!!!!!

scusa un attimo... quando ho un problema di cauchy la soluzione è unica giusto?
quindi i valori di alfa per cui ho un unica soluzione sono quelli che fanno parte del dominio cioè per le x diverse da 1 e 2...

poi se volessi calcolare il problema per alfa=0 procedo come stavo facendo... giusto????