Problema di cauchy
E' corretto come l'ho svolto?
$\{(y^{\prime}(x)+y(x)=x),(y(-1)=-2):}$
Allora $y^{\prime}(x)+a(x)y(x)=f(x)$ nel nostro caso abbiamo che $a(x)=1$,$f(x)=x$
$rArr A(x)=\int(a(x) dx)=\int(dx)=x$
$rArr y(x)=e^A(x)[\int(e^(-A(x))*f(x) dx) +c]$
$rArr y(x)=e^x[\int(e^-x*x dx) +c]$ fin qui spero sia chiaro e spero sia giusto....
$rArr \int(e^-x*x dx)=-\int(-e^-x*x dx)$ lo risolvo per parti assumendo $f(x)=x, f^{\prime}(x)=1, g'(x)=-e^-x, g(x)=e^-x.$
e ottengo $-[xe^-x-\int(e^-x dx)]=-[xe^-x-(-e^-x) + c]= -e^x-xe^-x-c$
CORREZIONE: AVEVO SCRITTO +c INVECE CHE -c
$rArr y(x)=e^x[-e^x-xe^-x-c]=-1-x-ce^x$
$rArr y(-1)=-1+1-ce^(-1)=-ce rArr -c1/e=-2 rArr c=2e$
$rArr y(x)=-1-x+2e$
$\{(y^{\prime}(x)+y(x)=x),(y(-1)=-2):}$
Allora $y^{\prime}(x)+a(x)y(x)=f(x)$ nel nostro caso abbiamo che $a(x)=1$,$f(x)=x$
$rArr A(x)=\int(a(x) dx)=\int(dx)=x$
$rArr y(x)=e^A(x)[\int(e^(-A(x))*f(x) dx) +c]$
$rArr y(x)=e^x[\int(e^-x*x dx) +c]$ fin qui spero sia chiaro e spero sia giusto....
$rArr \int(e^-x*x dx)=-\int(-e^-x*x dx)$ lo risolvo per parti assumendo $f(x)=x, f^{\prime}(x)=1, g'(x)=-e^-x, g(x)=e^-x.$
e ottengo $-[xe^-x-\int(e^-x dx)]=-[xe^-x-(-e^-x) + c]= -e^x-xe^-x-c$
CORREZIONE: AVEVO SCRITTO +c INVECE CHE -c $rArr y(x)=e^x[-e^x-xe^-x-c]=-1-x-ce^x$
$rArr y(-1)=-1+1-ce^(-1)=-ce rArr -c1/e=-2 rArr c=2e$
$rArr y(x)=-1-x+2e$
Risposte
Ci dev'essere qualche errore di conto, visto che la tua y(x) non soddisfa né l'equazione differenziale né la condizione iniziale, mi pare.
Prova a rifare i conti su carta.
Prova a rifare i conti su carta.
se leggete sul link sotto a pag 99 c'è una soluzione che dovrebbe essere giusta....
http://digilander.libero.it/s.camosso/E ... nziali.pdf
però lui come soluzione generale di un eq diff lineare del primo ordine da questa $y(x)=e^(-A(x))*[\int(e^(A(x))f(x) dx) + c]$
mentre il mio prof mi da comne sol generale questa $y(x)=e^(A(x))*[\int(e^(-A(x))f(x) dx) + c]$
quale è quella giusta? e perchè a me non viene una soluzione corretta?
http://digilander.libero.it/s.camosso/E ... nziali.pdf
però lui come soluzione generale di un eq diff lineare del primo ordine da questa $y(x)=e^(-A(x))*[\int(e^(A(x))f(x) dx) + c]$
mentre il mio prof mi da comne sol generale questa $y(x)=e^(A(x))*[\int(e^(-A(x))f(x) dx) + c]$
quale è quella giusta? e perchè a me non viene una soluzione corretta?
"Knuckles":
E' corretto come l'ho svolto?
$\{(y^{\prime}(x)+y(x)=x),(y(-1)=-2):}$
Allora $y^{\prime}(x)+a(x)y(x)=f(x)$ nel nostro caso abbiamo che $a(x)=1$,$f(x)=x$
$rArr A(x)=\int(a(x) dx)=\int(dx)=x$
$rArr y(x)=e^A(x)[\int(e^(-A(x))*f(x) dx) +c]$
$rArr y(x)=e^x[\int(e^-x*x dx) +c]$ fin qui spero sia chiaro e spero sia giusto....
Ho dei dubbi.
Io partirei da
$y^{\prime}(x)+y(x)=x$
e senza tante formule moltiplicherei per $e^x$ ottenendo
$d/(dx)(y(x)e^x) = xe^x$.
Quindi la funzione $y(x)e^x$ è una primitiva di $xe^x$. Le primitive di $xe^x$ sono del tipo $xe^x-e^x+c$ e quindi otteniamo
$y(x)=e^{-x}(xe^x-e^x+c)$
eccetera.
Mi pare quindi che la tua formula andrebbe corretta così:
$y(x)=e^{-A(x)}[\int(e^(A(x))*f(x) dx) +c]$
ma non ho verificato il caso generale.
quindi il mio prof mi ha dato una formula non corretta?
aggiungo un'altra precisazione... la formula che mi ha dato il prof c'è anche sul libro di testo...
aggiungo un'altra precisazione... la formula che mi ha dato il prof c'è anche sul libro di testo...
le formule sono tutte e due corrette... solo che quella del mio prof si applica se l'equazione diff è in forma normale... grazie dell'aiuto ciao ciao
"Knuckles":
quindi il mio prof mi ha dato una formula non corretta?
aggiungo un'altra precisazione... la formula che mi ha dato il prof c'è anche sul libro di testo...
E' più importante quello che dicono professore e libro di testo o il fatto che la formula non funziona?
In altre parole, se applicando il ragionamento di prof e libro di testo non arrivi alla soluzione, chi se ne frega di quello che dicono prof e libro di testo?
E' un errore comune.
Ci sono in circolazione formule per y' = a(x) y e per y' + a(x) y = 0.
Ovviamente sembra fatto apposta per confondere con i segni.
E' anche un esempio carino di coesistenza di due diverse notazioni, fatto dovuto alla presenza di forze divergenti:
- da una parte l'abitudine (e la comodità) di avere le equazioni differenziali in forma normale
- dall'altra l'uso del polinomio caratteristico per le equazioni lineari (a coefficienti costanti)
Ci sono in circolazione formule per y' = a(x) y e per y' + a(x) y = 0.
Ovviamente sembra fatto apposta per confondere con i segni.
E' anche un esempio carino di coesistenza di due diverse notazioni, fatto dovuto alla presenza di forze divergenti:
- da una parte l'abitudine (e la comodità) di avere le equazioni differenziali in forma normale
- dall'altra l'uso del polinomio caratteristico per le equazioni lineari (a coefficienti costanti)
(per fioravante patrone) forse potresti conoscere il mio prof.... E' Maurizio Chicco...
comunque... come faccio a verificare che la soluzione che ho trovato è giusta?
comunque... come faccio a verificare che la soluzione che ho trovato è giusta?
"Knuckles":
(per fioravante patrone) forse potresti conoscere il mio prof.... E' Maurizio Chicco...
Sì, mi pare di averlo incrociato, qualche volta
"Knuckles":
comunque... come faccio a verificare che la soluzione che ho trovato è giusta?
La sostituisci nella equazione data.
E, visto che avevi un problema di Cauchy, controlli anche se è soddisfatta la condizione iniziale.
ok grazie mille!!! 
un ultima cosa... penso di avere un po di problemi negli appunti... con vari procedimenti il prof ricava un soluzione generale della soluzione particolare...ma non capisco qualche passaggio...
allora:
$\{(y^{\prime}(x)=a(x)y(x)+b(x)),(y(x_o)=x_o):}$
$a,binC^o(I)$ con $IsubeRR$
poi scrive $e^(-A(x))[y^{\prime}(x)-a(x)y(x)]= e^(-A(x))b(x)$ ha portato $a(x)y(x)$ al primo membro e ha moltiplicato tutto per il fattore integrante(penso si chiami così) $e^(-A(x))$ e fin qui tutto ok....
poi scrive:
$D[e^(-A(t))y(t)]=e^(-A(t))y^{\prime}(t) - a(t)y(t)e^(-A(t))=e^(-A(t))b(t)$ $AA tinI$ e fin qui nulla di strano...solo una cosa, perchè cambia la x con t?
poi integra $D[e^(-A(t))y(t)]$ fra $x_o$ e $x$.... perchè?
poi scrive $e^(-A(x))y(x)=e^(-A(x_o))y_o +\int_(x_o)^(y_o) (e^(-A(t))b(t)dt)$ anche qui non mi è chiaro il passaggio...
dopodichè esplicita y(x) e ottiene la soluzione particolare....
un ultima cosa... penso di avere un po di problemi negli appunti... con vari procedimenti il prof ricava un soluzione generale della soluzione particolare...ma non capisco qualche passaggio...
allora:
$\{(y^{\prime}(x)=a(x)y(x)+b(x)),(y(x_o)=x_o):}$
$a,binC^o(I)$ con $IsubeRR$
poi scrive $e^(-A(x))[y^{\prime}(x)-a(x)y(x)]= e^(-A(x))b(x)$ ha portato $a(x)y(x)$ al primo membro e ha moltiplicato tutto per il fattore integrante(penso si chiami così) $e^(-A(x))$ e fin qui tutto ok....
poi scrive:
$D[e^(-A(t))y(t)]=e^(-A(t))y^{\prime}(t) - a(t)y(t)e^(-A(t))=e^(-A(t))b(t)$ $AA tinI$ e fin qui nulla di strano...solo una cosa, perchè cambia la x con t?
poi integra $D[e^(-A(t))y(t)]$ fra $x_o$ e $x$.... perchè?
poi scrive $e^(-A(x))y(x)=e^(-A(x_o))y_o +\int_(x_o)^(y_o) (e^(-A(t))b(t)dt)$ anche qui non mi è chiaro il passaggio...
dopodichè esplicita y(x) e ottiene la soluzione particolare....
"Knuckles":
$D[e^(-A(t))y(t)]=e^(-A(t))y^{\prime}(t) - a(t)y(t)e^(-A(t))=e^(-A(t))b(t)$ $AA tinI$ e fin qui nulla di strano...solo una cosa, perchè cambia la x con t?
Solo per evitare confusione con la formula successiva, visto che vuole integrare ta $x_0$ ed $x$.
Tanto dire (ad esempio):
per ogni t, 3t - 2t = t
o
per ogni x, 3x - 2x = x
è lo stesso
"Knuckles":
poi integra $D[e^(-A(t))y(t)]$ fra $x_o$ e $x$.... perchè?
e chi glielo impedisce? Le funzioni sono integrabili...
Un po' più seriamente, la ragione è abbastanza chiara: proprio perché ha una derivata, la tentazione di integrare ed usare così la formula fondamentale del calcolo integrale è tanta
"Knuckles":
poi scrive $e^(-A(x))y(x)=e^(-A(x_o))y_o +\int_(x_o)^(y_o) (e^(-A(t))b(t)dt)$ anche qui non mi è chiaro il passaggio...
Il pezzo $e^(-A(x_o))y_o $ viene dall'integrazione (è stato portato a secondo membro).
Il resto a destra è semplicemente l'integrale definito di quello che aveva prima a dx.
"Knuckles":
poi integra $D[e^(-A(t))y(t)]$ fra $x_o$ e $x$.... perchè?
poi scrive $e^(-A(x))y(x)=e^(-A(x_o))y_o +\int_(x_o)^(y_o) (e^(-A(t))b(t)dt)$ anche qui non mi è chiaro il passaggio...
Non vedo il problema: ha semplicemente integrato i due membri della relazione
$D[e^{-A(t)}y(t)] = e^{-A(t)}b(t)$
tra $x_0$ e $x$ (è un passaggio lecito), ottenendo
$int_{x_0}^x D[e^{-A(t)}y(t)] dt = int_{x_0}^x e^{-A(t)}b(t)dt$.
Poi ha svolto il membro di sinistra nel modo solito:
$e^{-A(x)}y(x)-e^{-A(x_0)}y(x_0) = int_{x_0}^x e^{-A(t)}b(t)dt$.
ok e perchè proprio tra $x_o$ e $x$?
"Knuckles":
ok e perchè proprio tra $x_o$ e $x$?
Perché è comodo.
Perché è lecito.
Perché il dato iniziale ti fornisce $y(x_0)$, quindi non ci sono misteri
Invidio la semplicità di voi geni della matematica
Allora ragionando.... io integro la derivata per poter ricavare y(x) che è quello che cerco...
ma non capisco perchè tra $x_o$ e $x$...
Allora ragionando.... io integro la derivata per poter ricavare y(x) che è quello che cerco...
ma non capisco perchè tra $x_o$ e $x$...
"Knuckles":
ma non capisco perchè tra $x_o$ e $x$...
Potresti anche integrare tra $sqrt{pi}e^{pi^x}$ e $2^{sqrt{e}}$, se ti fosse utile a trovare la soluzione.
Il fatto è che integrare tra $x_0$ e $x$ aiuta a raggiungere lo scopo (lo scopo è trovare $y(x)$).
A questo punto tu capisci che è lecito, e capisci che porta a trovare la soluzione. Non ti basta come motivo?
quindi $x_o$ è perchè così passa per quel punto... e x perchè alla fine y(x) è una funzione di x.... giusto?
"Knuckles":
quindi $x_o$ è perchè così passa per quel punto... e x perchè alla fine y(x) è una funzione di x.... giusto?
Sì, se vuoi è così. Ma questa tua spiegazione non è molto consistente. Io trovo meglio dire: tra $x_0$ e $x$ perché così poi troviamo la soluzione.
E' come se uno avesse l'equazione $2x=1$ e dividesse per 2 ambo i membri. In questo caso tu non sentiresti il bisogno di domandargli "perché hai diviso per 2?" perché ti risulterebbe evidente: ottieni subito quello che vuoi, cioè il valore di $x$.
Allo stesso modo la tua domanda "perché tra $x_0$ e $x$?" mi stona un po'. Saprei rispondere solo: perché così ottieni quello che vuoi.
Integrare tra $x_0$ e $x$ è un passaggio costruttivo che nasconde un'idea. Nel momento in cui capisci che il passaggio è lecito, l'unica domanda che ancora può essere senza risposta è "ma come cavolo avranno fatto a capire che integrando tra $x_0$ e $x$ ottenevano la soluzione?". Boh, ci saranno arrivati osservando che gli serve $y(x)$ e che conoscono $y(x_0)$, oppure magari hanno provato così perché era bello così.
ok grazie mille
a questo punto è possibile disegnare le soluzioni dell'eq diff? se si come?
a questo punto è possibile disegnare le soluzioni dell'eq diff? se si come?
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