Problema di Cauchy

[IlBodoz]

Si vede che sono in prossimità di un esame che per me è un arduo scoglio?!
sapreste aiutarmi a determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy spiegandomi che regole e che proprietà utilizzano nei vari passaggi per risolverlo?
${ y' + (y/x) = (x/(1+x^2)) $
$ { y(-1) = 1 $
ps. le parentesi graffe in realtà sono una unica che pone a sistema entrambe le equazioni.
grazie!!!!!!!!!!!!!

[gugo82]

"IlBodoz":Si vede che sono in prossimità di un esame che per me è un arduo scoglio?!
sapreste aiutarmi a determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy spiegandomi che regole e che proprietà utilizzano nei vari passaggi per risolverlo?
$\{ (y' + y/x = x/(1+x^2)),(y(-1) = 1):}$

grazie!!!!!!!!!!!!!

Il tuo è un problema di Cauchy relativo ad un'equazione del primo ordine, lineare, a coefficienti non costanti, completa.

L'omogenea associata si risolve separando le variabili, ma forse non ce n'è nemmeno bisogno, perchè è tanto facile che l'integrale generale lo si trova ad occhio (in particolare è $Y(x)=c/x$ con $cin RR$ costante arbitraria).

Per trovare un integrale particolare $bary(x)$ dell'equazione completa o usi la formuletta o applichi il Metodo della Variazione delle Costanti (di Lagrange): sono metodi standard che trovi descritti sul tuo libro.

A questo punto hai l'integrale generale dell'equazione differenziale scritto nella forma $y(x)=bary(x)+c/x$.

Ricorda che l'equazione è definita nell'insieme di definizione dei coefficienti il quale, come vedi, non è connesso: pertanto devi specificare vai cercando una soluzione del problema di Cauchy nella componente connessa dell'insieme di definizione che contiene il punto iniziale $-1$ (e quindi $]-oo,0[$).
La costante $c$ si determina facilmente imponendo la condizione iniziale del problema di Cauchy: $y(-1)=1 quad=>quad bary(-1)-c=1 quad=>quad c=bary(-1)-1$.