Problema di cauchy 4

[Tommy85]

${(y'(x)=e^x y+y,(y(0) =e):}$
Di regola dovrebbe essere una equazione differenziale lineare quindi si dovrebbe presentare in questo modo
${(y'(x)-y(e^x+1),(y(0) =e):}$
Quindi la mia soluzione sarà
$y(x)=e^(-A(x))(int e^(A(x)) f(x) dx +c)$
$c$ la calcolerò con la cond. supplementare
$A(x)=int a(x) dx$ la calcolo così
Di regola dovrei utilizzare questo metodo dove $a(x)$ ef $f(x)$ in un equazione generale sono così $y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$...penso che nella equazione che dovrei trovare la soluzione $a(x)=e^x +1$ e $ f(x)=0$
È giusto il ragionamento ?

[Noisemaker]

non è lo stesso problema esposto qui

viewtopic.php?f=36&t=110745

perchè hai aperto un topico identico?

[Tommy85]

Noisemaker:non è lo stesso problema esposto qui

viewtopic.php?f=36&t=110745

perchè hai aperto un topico identico?

È vero scusate e che in questo periodo sono fuso...stavo cercando di risolverlo ma purtroppo mi blocco sempre e l'ho scritto dimenticando di averlo già fatto

[Tommy85]

"scarsetto":${(y'(x)=e^x y+y),(y(0) =e):}$
Di regola dovrebbe essere una equazione differenziale lineare quindi si dovrebbe presentare in questo modo
${(y'(x)-y(e^x+1)),(y(0) =e):}$
Quindi la mia soluzione sarà
$y(x)=e^(-A(x))(int e^(A(x)) f(x) dx +c)$
$c$ la calcolerò con la cond. supplementare
$A(x)=int a(x) dx$ la calcolo così
Di regola dovrei utilizzare questo metodo dove $a(x)$ ef $f(x)$ in un equazione generale sono così $y'(x)+a(x)y(x)=f(x)$...penso che nella equazione che dovrei trovare la soluzione $a(x)=e^x +1$ e $ f(x)=0$
È giusto il ragionamento ?

allora per svolgerlo calcolo
$A(x)=int e^x+1 dx=x+e^x$
$y(x)=e^(-(x+e^x)) (int e^(x+e^x) 0 dx)=e^(-x-e^x) c$
$y(0)=e$
$y(0)=e^(-0-e^0)=e^(-1) c=e$
da cui si ricava che $c=e^2$ esatto?

[FrancescoMi1]

Considerarlo un differenziale normale a variabili separabili?
$y'(x)=y(x)(e^x+1)$

$ (y'(x))/(y(x))=e^x+1$

$\int_e^(y(x)) 1/y dy=\int_0^x e^t + \int_0^x 1$

[Tommy85]

"FrancescoMi":Considerarlo un differenziale normale a variabili separabili?
$y'(x)=y(x)(e^x+1)$

$ (y'(x))/(y(x))=e^x+1$

$\int_e^(y(x)) 1/y dy=\int_0^x e^t + \int_0^x 1$

$int_0^x e^t + \int_0^x 1$ in $dx$ o $dt$ a parte questo interrogativo?
$log y(x)=e^x +x$
quindi la soluzione sara: $y(x)=e^(e^x+x)$ esatto?

[FrancescoMi1]

$log y(x) - log e = e^x - e^0 + x$

Comunque se consideri l'integrale indefinito la tua soluzione è giusta.

[Tommy85]

"FrancescoMi":$log y(x) - log e = e^x - e^0 + x$

Comunque se consideri l'integrale indefinito la tua soluzione è giusta.

nn ti seguo da dove ti esce questo $log y(x) - log e = e^x - e^0 + x$

[FrancescoMi1]

è un integrale definito tra $y(x)$ ed $e$ e tra $x$ e $0$

[Tommy85]

"FrancescoMi":è un integrale definito tra $y(x)$ ed $e$ e tra $x$ e $0$

ah si si vero
quindi il risultato sarà $log y=(e^x -1)+x-log e$ quindi
$y=e^((e^x -1)+x-log e)$ esatto?

[FrancescoMi1]

$e^(log(y(x)))−e^(loge)=e^(e^x) e^(−1)+ e^x$

$y(x)= e + e^(e^x) +1/e +e^x$

[Tommy85]

"FrancescoMi":$e^(log(y(x)))−e^(loge)=e^(e^x) e^(−1)+ e^x$

$y(x)= e + e^(e^x) +1/e +e^x$

Cm fai ad arrivare a ciò.....a me da questo $ log y-log e=(e^x -1)+x$ esce $logy=x+e^x$ quindi $y=e^(x+e^x)$

[FrancescoMi1]

se non sbaglio devi porre come esponente dell'esponenziale tutte le variabili e le costanti, magari aspetta la risposta di qualcuno più esperto

[Tommy85]

"FrancescoMi":se non sbaglio devi porre come esponente dell'esponenziale tutte le variabili e le costanti, magari aspetta la risposta di qualcuno più esperto

Sinceramente miè nuova questa cosa

[Obidream]

A me sembra corretta la soluzione di scarsetto

$y'=y(e^x+1)$

Inanzitutto osservo che $y=0$ è una soluzione costante e poi separo le variabili:

$(y')/y=e^x+1$

$int dy/y=int (e^x+1)dx$

$log|y|=e^x+x+c$

$|y|=e^(c)*e^(e^x+x)$

$y=+-e^(c)*e^(e^x+x)$

$y=K*e^(e^x+x)$, con $K in RR$ ( per $K=0$ trovo la soluzione costante)