Problema di Cauchy

[Sk_Anonymous]

Con l'ausilio della trasformata di Laplace risolvere per $t>=0$:


${(y^('')(t)+2y^{\prime}(t)+y(t)=chi_[[0,pi]](t)sin(omegat)),(y(0)=y^{\prime}(0)=0):},

con $chi_[[0,pi]](t)$ funzione caratteristica (o porta,o finestra rettangolare) dell'insieme $[0,pi]$ e $omega in RR$.

[Sk_Anonymous]

Presumo devo integrare la stessa funzione.L'integrale con la parte intera l'ho risolto correttamente(estremi di integrazione a parte)?

Ok grazie per la pazienza.
Ciao

N.B.
ho editato il messaggio;era una domanda

[Sk_Anonymous]

Ecco la soluzione riveduta e (spero) corretta

I caso:$0<=t<=2$

$y(t)=cos(t)oxt-cos(t)ox[t]=int_0^tcos(t)*(t-tau)d tau-int_0^tcos(t-tau)*[t]d tau=
$=t^2cos(t)-1/2t^2cos(t)-[t]*(1+sin(t)) to y(t)=t^2cos(t)-[t]*(1+sin(t))

II caso: $t>2$

$y(t)=cos(t)oxt-cos(t)ox[t]=int_0^2cos(t)*(t-tau)d tau-int_0^2cos(t-tau)*[t]d tau=
$=2tcos(t)-2cos(t)-[t]*(sin(2-t)+sin(t)) to y(t)=2cos(t)(t-1)-[t]*(sin(2-t)+sin(t))

La prima soluzione verifica la condizione iniziale,mentre la seconda no;qualcuno mi sa spiegare il perchè?
Ciao

[Sk_Anonymous]

Il testo del problema risolto sopra è il seguente:

"Sturmentruppen":Risolvere il seguente problema in avanti:

${(y^'+int_0^ty(tau)d tau=H(t)*H(2-t)*(t-[t])),(y(0)=0):}