Problema di cauchy..

[idea1]

salve a tutti nell'esame di analisi 2 mi e'capitato un esercizio che diceva:
dire per quali valori di lambda la soluzione del problema di cauchy
y''-4y=x^2 +1
y(0)=0
y'(0)=lambda
verifica la relazione:lim per x che tende a piu infinito di y(x)=piu'infinito..
io ho risolto normalmente il problema..prendendo come soluzione particolare dell'equazione completa un generico polinomio di secondo grado..
alla fine mi sn trovata pure l'unica soluzione del problema di cauchy soddisfacente le condizioni date..
ma ho trovato difficolta'cn l'ultima parte dell'esercizio..voi cosa proponete?..
grazie in anticipo..

[Pulcepelosa]

quale è la funzione risolutiva che hai trovato?

[_nicola de rosa]

"idea":salve a tutti nell'esame di analisi 2 mi e'capitato un esercizio che diceva:
dire per quali valori di lambda la soluzione del problema di cauchy
y''-4y=x^2 +1
y(0)=0
y'(0)=lambda
verifica la relazione:lim per x che tende a piu infinito di y(x)=piu'infinito..
io ho risolto normalmente il problema..prendendo come soluzione particolare dell'equazione completa un generico polinomio di secondo grado..
alla fine mi sn trovata pure l'unica soluzione del problema di cauchy soddisfacente le condizioni date..
ma ho trovato difficolta'cn l'ultima parte dell'esercizio..voi cosa proponete?..
grazie in anticipo..

La mia soluzione è:
$y(x)=y_o(x)+y_p(x)=(3+4*lambda)/16e^(2x)+(3-4*lambda)/16e^(-2x)-1/4x^2-3/8$

Ora se $lambda> -3/4$ si ha $lim_(x->+infty)y(x)=+infty$

se invece $lambda<=-3/4$ si ha $lim_(x->+infty)y(x)=-infty$

[idea1]

"Pulcepelosa":quale è la funzione risolutiva che hai trovato?

risolvendo mi trovo che l'unica soluzione del problema di cauchy e':
y(x)=1/4 lambda e^2x -1/4lambda e^-2x -1/4 x^2 -3/8
poi dopodiche'non so piu come fare per determinarei valori di lambda affinche'
esista quel limite..

[_nicola de rosa]

"idea":[quote="Pulcepelosa"]quale è la funzione risolutiva che hai trovato?

risolvendo mi trovo che l'unica soluzione del problema di cauchy e':
y(x)=1/4 lambda e^2x -1/4lambda e^-2x -1/4 x^2 -3/8
poi dopodiche'non so piu come fare per determinarei valori di lambda affinche'
esista quel limite..[/quote]

$y(x)=He^(2x)+Ke^(-2x)-1/4x^2-3/8$
$y(0)=0->H+K=3/8$
$y'(0)=lambda->2H-2K=lambda$

Quindi hai ${(H+K=3/8),(H-K=(lambda)/2):}->{(H=(3+4*lambda)/16),(K=(3-4*lambda)/16):}$

[idea1]

"nicola de rosa":[quote="idea"][quote="Pulcepelosa"]quale è la funzione risolutiva che hai trovato?

risolvendo mi trovo che l'unica soluzione del problema di cauchy e':
y(x)=1/4 lambda e^2x -1/4lambda e^-2x -1/4 x^2 -3/8
poi dopodiche'non so piu come fare per determinarei valori di lambda affinche'
esista quel limite..[/quote]

$y(x)=He^(2x)+Ke^(-2x)-1/4x^2-3/8$
$y(0)=0->H+K=3/8$
$y'(0)=lambda->2H-2K=lambda$

Quindi hai ${(H+K=3/8),(H-K=(lambda)/2):}->{(H=(3+4*lambda)/16),(K=(3-4*lambda)/16):}$[/quote]
si grassie mille mi trovo cosi'...ho ricontrollato..
e quindi poi per quali valori di lambda vale quel limite?
non ho capito perke'per lambda >meno 3/4 vale piu 'infinito..
scusatemi ...e grassie ancora..gentilissimo

[_nicola de rosa]

si grassie mille mi trovo cosi'...ho ricontrollato..
e quindi poi per quali valori di lambda vale quel limite?
non ho capito perke'per lambda >meno 3/4 vale piu 'infinito..
scusatemi ...e grassie ancora..gentilissimo

La soluzione è $y(x)=y_o(x)+y_p(x)=(3+4*lambda)/16e^(2x)+(3-4*lambda)/16e^(-2x)-1/4x^2-3/8$

Ora se $3+4lambda>0->lambda> -3/4$ allora $(3+4*lambda)/16>0$ per cui

$lim_(x->+infty)y(x)=lim_(x->+infty)e^(2x)[(3+4*lambda)/16+(3-4*lambda)/16e^(-4x)-(1/4x^2+3/8)e^(-2x)]$

Ora $lim_(x->+infty)(3-4*lambda)/16e^(-4x)=0,lim_(x->+infty)(1/4x^2+3/8)e^(-2x)=0$ per cui

$lim_(x->+infty)y(x)=lim_(x->+infty)e^(2x)[(3+4*lambda)/16+(3-4*lambda)/16e^(-4x)-(1/4x^2+3/8)e^(-2x)]=lim_(x->+infty)e^(2x)[(3+4*lambda)/16]=+infty$

dal momento che $(3+4*lambda)/16>0$

Se $(3+4*lambda)/16<0$ valgono gli stessi discorsi per cui

$lim_(x->+infty)y(x)=lim_(x->+infty)e^(2x)[(3+4*lambda)/16+(3-4*lambda)/16e^(-4x)-(1/4x^2+3/8)e^(-2x)]=lim_(x->+infty)e^(2x)[(3+4*lambda)/16]=-infty$

dal momento che $(3+4*lambda)/16<0$

Se $lambda=-3/4$ allora $y(x)=3/8e^(-2x)-1/4x^2-3/8$ per cui

$lim_(x->+infty)y(x)=lim_(x->+infty)(3/8e^(-2x)-1/4x^2-3/8)=-infty$ perchè $lim_(x->+infty)(3/8e^(-2x))=0$

Quindi $lim_(x->+infty)y(x)={(+infty,lambda> -3/4),(-infty,lambda<=-3/4):}$