Problema di Cauchy
Ho il seguente problema di Cauchy che ho trovato su un libro di esercizi:
${(y^{\prime}=y/x-y^2/x),(y(1)=1/2):}$
Mi dice che l'equazione differenziale è possibile svolgerla come equazione di Bernoulli con esponente $alpha=2$ oppure a variabili separabili.
Avredi due quesiti da porre alla vostra attenzione:
1) Ho provato a svolgere considerando l'equazione di Bernoulli ed ottengo il risultato $y(x)=(3x-2)/(2x^2)$ che mi sembra giusto, mentre il libro da come risultato: $y(x)=x/(x+1)$.
Per prima cosa voglio chiedervi se ho sbagliato io o il libro. non dovrebbe essere unica la soluzione del problema di Cauchy???
2) Dato che non trovavo lo stesso risultato del libro, ho provato a svolgere l'equazione separando le variabili...
Per l'omogenea non ho avuto problemi ( Vi preannuncio che non uso la formula di risoluzione) e mi sono trovato $y=cx$ ma ho problemi per trovare l'integrale particolare. $Y(X)=c(x)x=>Y^{\prime}(X)=c^{\prime}(x)x+c(x)$andando ad imporre come soluzione $Y(x)$ ho quel $y^2$ che mi complica le cose...
${(y^{\prime}=y/x-y^2/x),(y(1)=1/2):}$
Mi dice che l'equazione differenziale è possibile svolgerla come equazione di Bernoulli con esponente $alpha=2$ oppure a variabili separabili.
Avredi due quesiti da porre alla vostra attenzione:
1) Ho provato a svolgere considerando l'equazione di Bernoulli ed ottengo il risultato $y(x)=(3x-2)/(2x^2)$ che mi sembra giusto, mentre il libro da come risultato: $y(x)=x/(x+1)$.
Per prima cosa voglio chiedervi se ho sbagliato io o il libro. non dovrebbe essere unica la soluzione del problema di Cauchy???
2) Dato che non trovavo lo stesso risultato del libro, ho provato a svolgere l'equazione separando le variabili...
Per l'omogenea non ho avuto problemi ( Vi preannuncio che non uso la formula di risoluzione) e mi sono trovato $y=cx$ ma ho problemi per trovare l'integrale particolare. $Y(X)=c(x)x=>Y^{\prime}(X)=c^{\prime}(x)x+c(x)$andando ad imporre come soluzione $Y(x)$ ho quel $y^2$ che mi complica le cose...
Risposte
"p4ngm4n":
1) Ho provato a svolgere considerando l'equazione di Bernoulli ed ottengo il risultato $y(x)=(3x-2)/(2x^2)$ che mi sembra giusto
no, non è soluzione
Io credo che se la svolgi a variabili separabili devi far così:
$y^'=y/x-y^2/x=>(dy)/(y-y^2)=(dx)/x=>int(dy)/(y(1-y))=int(dx)/x....
$y^'=y/x-y^2/x=>(dy)/(y-y^2)=(dx)/x=>int(dy)/(y(1-y))=int(dx)/x....
posto i passaggi come equazione di Bernoulli, ditemi dove sbaglio:
$y^{\prime}=y/x-y^2/x$ dividendo per $y^2$ ottengo: $y^{\prime}y^(-2)=y^(-1)/x-1/x$
Sostituisco $z=1/y=>z^{\prime}=-1(y^(-2))y^{\prime}$ quindi mi occorre un -1 per far comparire esattamente $z^{\prime}$ da cui:
$z^{\prime}=-z/x+1/x$
andando a risolvere l'omogenea ottengo: $z=c/x$ quindi la soluzione particolare $Z(X)=(c(x))/x$
imponendo come soluzione ottengo $c(x)=-1/x=>Z(X)=-1/(x^2)$
$z(x)=c/x-1/(x^2)
$y^{\prime}=y/x-y^2/x$ dividendo per $y^2$ ottengo: $y^{\prime}y^(-2)=y^(-1)/x-1/x$
Sostituisco $z=1/y=>z^{\prime}=-1(y^(-2))y^{\prime}$ quindi mi occorre un -1 per far comparire esattamente $z^{\prime}$ da cui:
$z^{\prime}=-z/x+1/x$
andando a risolvere l'omogenea ottengo: $z=c/x$ quindi la soluzione particolare $Z(X)=(c(x))/x$
imponendo come soluzione ottengo $c(x)=-1/x=>Z(X)=-1/(x^2)$
$z(x)=c/x-1/(x^2)
col metodo della separazione delle variabili come indicato da cavallipurosangue sono riuscito a trovare il risultato corretto in questo modo:
$intdy/(y-y^2)=intdx/x=>-log((y-1)/y)=log|x|=>y/(y-1)=cx=>y=(cx)/(cx-1)$
$y(1)=1/2=>c/(c-1)=1/2=>c=-1=>y(x)=x/(x+1)$
Qualcuno può aiutarmi a trovare l'errore che faccio risolvendo l'equazione di Bernoulli?
$intdy/(y-y^2)=intdx/x=>-log((y-1)/y)=log|x|=>y/(y-1)=cx=>y=(cx)/(cx-1)$
$y(1)=1/2=>c/(c-1)=1/2=>c=-1=>y(x)=x/(x+1)$
Qualcuno può aiutarmi a trovare l'errore che faccio risolvendo l'equazione di Bernoulli?
"p4ngm4n":
$z^{\prime}=-z/x+1/x$
la cui sol è $z(x)=e^(-int(dx)/x)[c+int1/xe^(int(dx)/x)dx]=(c+x)/x$