Problema di cauchy

[perepeppe-votailprof]

$y'=(y^2-4)/(x-3)$

$y(0)=3$


l'ho risolto ma non sono riuscito a identificare l'intervallo esatto ove è definita la soluzione. riuscite a spiegarmi come si fa nel caso specifico di qst esercizio?
a me è venuto x diverso da 3 ma non mi smebra quella esatta

[Luca.Lussardi]

Anzitutto $x \ne 3$ non ti dà un intervallo; posta magari la traccia della soluzione del problema, forse con quella sott'occhio si ragiona meglio.

[Fioravante Patrone1]

perfettamente d'accordo con Luca.
Aggiungo due cose, se possono servire.

La soluzione sarà definita su un intervallo contenuto dentro $]- \infty,3[$, visto che la condizione iniziale ha $x_0 = 0$.

Per il resto, se hai la soluzione esplicita, molto probabilmente sarà la soluzione massimale e quindi da lì si dovrebbe vedere l'intervallo su cui è definita (inteso come il più grande intervallo su cui l'espressione analitica trovata individua una funzione)

[perepeppe-votailprof]

$int 1/(y^2-4)dy=int 1/(x-3)dx+c$

$int 1/(y^2-4)dy=log|x-3|+c$

$(1/4)log((y-2)/(y+2))=log|x-3|+c$

$(1/4)log((y-2)/(y+2))-log|x-3|=c$

da qui si può prendere $e^c=3$

$(1/4)log(((y-2)/(y+2))/(x-3))=c$

$(((y-2)/(y+2))/(x-3))^(1/4)=e^c$

$(((y-2)/(y+2))/(x-3))^(1/4)=3$

[Luca.Lussardi]

Ricontrolla l'integrazione in $dy$...

[perepeppe-votailprof]

"Luca.Lussardi":Ricontrolla l'integrazione in $dy$...

e si sto facendo pratica a scrivere col math player scusate gli errori

ora dovrebbe essere tutto giusto

[perepeppe-votailprof]

$int 1/(y^2-4)dy=int 1/(x-3)dx+c$

$int 1/(y^2-4)dy=log|x-3|+c$

$(1/4)log((y-2)/(y+2))=log|x-3|+c$

$(1/4)log((y-2)/(y+2))-log|x-3|=c$

da qui si può prendere $e^c=3$

$(1/4)log(((y-2)/(y+2))/(x-3))=c$

$(((y-2)/(y+2))/(x-3))^(1/4)=e^c$

$(((y-2)/(y+2))/(x-3))^(1/4)=3$

ORA E' CORRETTO? IL CAMPO DI ESISTENZA QUALE SAREBBE?

[Luca.Lussardi]

Perchè $e^c=3$?

[perepeppe-votailprof]

"Luca.Lussardi":Perchè $e^c=3$?

$(1/4)log((y-2)/(y+2))-log|x-3|=c$

viene fuori sostituendo x=0 e y=3 secondo la condizione ke il problema di cauchy impone

$(1/4)log((3-2)/(3+2))-log|0-3|=c$

$(1/4)log1-log|-3|=c$

$-log|-3|=c$

$1/3=e^c$

ora dovrebbe essere giusto ke l'ho rifatto qui...quindi verrebbe

$(((y-2)/(y+2))/(x-3))^(1/4)=1/3$

ORA E' CORRETTO? IL CAMPO DI ESISTENZA QUALE SAREBBE?

[perepeppe-votailprof]

$(((y-2)/(y+2))/(x-3))^(1/4)=1/3$

$(y-2)/(y+2)=(x-3)/81$

$(y-2)/(y+2)=x/81-1/27$

$0<(y-2)/(y+2)$ perchè è stato l'argomento di logaritmo $-1<(y-2)/(y+2)<1$ perkè il denominatore è sempre maggiore del numeratore quidni ne viene fuori che $0<(y-2)/(y+2)<1$

$x/81-1/27>0$

$x/81>1/27$

$x>3$

$x/81-1/27<1$

$x/81<1+1/27$

$x<84$

quindi $3
qst è quello ke ho saputo fare se è sbagliato potete darmi voi la soluzione perfavore?

[MaMo2]

La costante diventa:

$c=1/4log(1/5)-log3=-1/4log5-log3$

[perepeppe-votailprof]

veramente volevo sapere il più ampio intervallo ove è definita la soluzione e come ci si arriva...fatelo voi perkè io semino un sacco di errori

[perepeppe-votailprof]

$(((y-2)/(y+2))/(x-3))^(1/4)=e^(-1/4log5-log3)$

$(y-2)/(y+2)=((x-3)/5)/81$

$(y-2)/(y+2)=(x-3)/405$

$0<(y-2)/(y+2)$ perchè è stato l'argomento di logaritmo $-1<(y-2)/(y+2)<1$ perkè il denominatore è sempre maggiore del numeratore quidni ne viene fuori che $0<(y-2)/(y+2)<1$

$x/405-3/405>0$

$x/405>3/405$

$x>3$

$x/405-3/405<1$

$x/405<1+3/405$

$x<408$

quindi $3

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[Fioravante Patrone1]

caro pepepeppe, mi spiace ma non ho tempo per controllare i tuoi calcoli.
C'e' comunque qualcosa di sbagliato, perché quanto dicevo qui:

"Fioravante Patrone":
La soluzione sarà definita su un intervallo contenuto dentro $]- \infty,3[$, visto che la condizione iniziale ha $x_0 = 0$.

è vero. Senza alcun bisogno di trovare la soluzione.
Mi sa che l'errore stia nell'aver "trattato male" il valore assoluto quando trovi:
$(1/4)log((y-2)/(y+2))=log|x-3|+c$

Ora, tieni conto che la c.i. è $x_0 =0$. Quindi ti trovi nella regione in cui $x-3$ è negativo, per cui hai $log|x-3|= log(3-x)$ .

E, poi, mi sa che ci vuole il valore assoluto anche a sinistra, dove "integri la $y$"
ciao