Problema di Cauchy #2

[FinixFighter]

Ciao! Sto avendo a che fare con un altro problema di Cauchy che non riesco a risolvere, ovvero:
$ y'+y/x=arctanx $ con condizione iniziale $ y(-1)=0 $ . Se non sbaglio è lineare del primo ordine e per risolverlo potrei usare la formula $ y(x)=e^(-A(x))[c1+intg(x)e^(A(x)) dx ] $ con $ A(x)=inta0(x)dx $ con $ a0(x)=1/x $ e $ g(x)=arctanx $ .
Quindi trovo $ A(x)=int1/xdx=log|x| $ mentre per l'altro avrei $ intarctan(x)*e^log|x|dx=intarctan(x)*|x| $ però a questo punto mi blocco perchè non saprei come risolvere questo integrale, quindi mi è venuto un dubbio: è davvero questa la strada più semplice oppure ce n'è un'altra che non mi viene in mente?

[Raptorista1]

[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]

[Mephlip]

Non capisco cosa ti blocca: arrivato a questo punto dovresti sapere che quell'integrale si fa per parti, ti frena il valore assoluto?

[pilloeffe]

Ciao FinixFighter,

"FinixFighter": però a questo punto mi blocco perché non saprei come risolvere questo integrale

A parte che c'è un errore di scrittura nel penultimo integrale e ti sei perso per strada il $\text{d}x $ nell'ultimo, quel modulo che ti dà così fastidio potresti anche toglierlo considerando che l'intervallo massimale di definizione della soluzione contenente la condizione iniziale $y(-1) = 0 $ è $(-\infty, 0) $

[FinixFighter]

Quello che mi rendeva dubbioso era se porre $ g'(x)=arctan|x| $ o se porlo uguale a x. Comunque alla fine ho provato così (togliendo il modulo alla x):
$ g'(x)=-arctan(x) $ e $ f(x)=x $ quindi: $ g(x)=-xarctan(x)-1/2log(1+x^2)+c $ e $ f'(x)=1 $ . Da cui:
$ -x^2arctan(x)-1/2xlog(1+x^2)+c-int-xarctan(x)-1/2log(1+x^2)dx $ (ho portato fuori c dall'integrale). A questo punto ho posto $ I=int-xarctan(x) $ e quindi in generale mi trvo i nquesta condizione:
$ I=-x^2arctan(x)-1/2xlog(1+x^2)+x-I-int1/2log(1+x^2)dx $ A questo punto ho calcolato quest'integrale ponendo $ g'(x)=1/2 $ e $ f(x)=log(1+x^2) $ e se ho fatto bene i calcoli esso dovrebbe essere (non scrivo tutti i calcoli per abbreviare, spero sia giusto il risultato): $ x/2log(1+x^2)-x-x^3/3+c $
Quindi mi trovo in questo modo:
$ 2I=-x^2arctan(x)-1/2xlog(1+x^2)-x/2log(1+x^2)+x+x^3/3 $ e quindi: $ I=-x^2/2arctan(x)-xlog(1+x^2)+1/2x+x^3/6 $
Sostituendo quest'integrale nella formula per trovare y(x) si ha
$ y(x)=1/(-x+c)[2c-x^2/2arctan(x)-xlog(1+x^2)+1/2x+x^3/6] $
Però non so se questa soluzione giusta, in particolare non so se la c va effettivamente trattata così Perchè in questo modo imponendo la condizioni iniziale mi trovo un'equazione contenente c^2

[pilloeffe]

Mi sa che hai fatto qualche errore...
A me risulta

$ y(x) = c/x + x/2 arctan(x) + 1/(2x) arctan(x) - 1/2 $

Quindi, imponendo la condizione $y(-1) = 0 $ si ha:

$ 0 = y(-1) = c/-1 - 1/2 arctan(-1) - 1/2 arctan(- 1) - 1/2 \implies c = \pi/4 - 1/2 $

Pertanto la soluzione del PdC proposto è la seguente:

$ y(x) = \pi/(4x) - 1/(2x) + x/2 arctan(x) + 1/(2x) arctan(x) - 1/2 $

$ y(x) = \frac{2x^2 arctan(x) + 2arctan(x) - 2x - 2 + \pi}{4x} = \frac{2(x^2 + 1)arctan(x) - 2(x + 1) + \pi}{4x} $