Problema di Cauchy
Salve, potete aiutarmi con il seguente problema di Cauchy?
y'=cos(x-y)
y(0)=0
(Ho provato a usare la formula $$cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$
ma non riesco lo stesso).
y'=cos(x-y)
y(0)=0
(Ho provato a usare la formula $$cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$
ma non riesco lo stesso).
Risposte
Qual è il testo completo dell'esercizio?
(Questa cosa ce la siamo già detta altrove, tempo fa...)
(Questa cosa ce la siamo già detta altrove, tempo fa...)
Scusa, l'ho dato per scontato.
È questo: "Determinare tutte le eventuali soluzioni del problema di Cauchy specificando il più ampio intervallo nel quale sono definite".
È questo: "Determinare tutte le eventuali soluzioni del problema di Cauchy specificando il più ampio intervallo nel quale sono definite".
Di soluzioni, se ce ne sono, ce n'è una sola per ovvi motivi.
Una soluzione si trova "a occhio": è $y(x) = x$.
Quindi...
Ad ogni buon conto, visto che credo tu sia qui per indicazioni di carattere un po' generale, rifletti su questo.
La EDO è "brutta", perché è molto non lineare e non separa le variabili; anche sfruttando trucchi noti (ad esempio, la formula di sottrazione del coseno) la complessità non si abbassa.
Tuttavia, osserva che si può introdurre un'incognita ausiliaria per semplificare il problema: difatti, ponendo:
$z(x) = x - y(x)$,
di modo che $z^{\prime}(x) = 1 - y^{\prime}(x)\ =>\ y^{\prime}(x) = 1 - z^{\prime}(x)$ e $z(0)=0$, il problema di Cauchy diventa:
$\{(1 - z^{\prime}(x) = cos z(x)), (z(0) = 0):} \ <=>\ \{(z^{\prime}(x) = 1 - cos z(x)), (z(0) = 0):}$
che si risolve con tecniche standard o osservando che la soluzione costante $z(x) = 0$ è l'unica possibile.
Una soluzione si trova "a occhio": è $y(x) = x$.
Quindi...
Ad ogni buon conto, visto che credo tu sia qui per indicazioni di carattere un po' generale, rifletti su questo.
La EDO è "brutta", perché è molto non lineare e non separa le variabili; anche sfruttando trucchi noti (ad esempio, la formula di sottrazione del coseno) la complessità non si abbassa.
Tuttavia, osserva che si può introdurre un'incognita ausiliaria per semplificare il problema: difatti, ponendo:
$z(x) = x - y(x)$,
di modo che $z^{\prime}(x) = 1 - y^{\prime}(x)\ =>\ y^{\prime}(x) = 1 - z^{\prime}(x)$ e $z(0)=0$, il problema di Cauchy diventa:
$\{(1 - z^{\prime}(x) = cos z(x)), (z(0) = 0):} \ <=>\ \{(z^{\prime}(x) = 1 - cos z(x)), (z(0) = 0):}$
che si risolve con tecniche standard o osservando che la soluzione costante $z(x) = 0$ è l'unica possibile.
Va bene, grazie.
Prego.
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