Problema di Cauchy
Ciao a tutti, ecco un esercizio sui problemi di Cauchy. Ho provato a svolgere l'esercizio ma non sono sicuro di aver fatto bene. Potreste dirmi se ci sono dei punti sbagliati o imprecisi?
Es. Stabilire per quali $y_0\in\mathbb{R}$ il problema di Cauchy \( \begin{cases} x^2y'(x)=y(x) \\ y(0)=y_0 \end{cases} \) ammette soluzioni.
Svolgimento Osservo che sostituendo la condizione iniziale nell'eq. differenziale ho che \( 0\cdot y'(0)=y_0 \).
Quindi se $y_0\ne 0$ allora il Problema di Cauchy non ammette soluzioni.
Ci rimane da capire se il Problema di Cauchy seguente \( \begin{cases} x^2y'(x)=y(x) \\ y(0)=0 \end{cases} \) ammette soluzioni.
Ho pensato di farlo così. Inizialmente mi metto nell'intervallo $(0,+\infty)$ così posso ridurmi in forma normale e risolvere l'eq differenziale \( y'(x)=\frac{1}{x^2}y'(x) \) in \( (0,+\infty) \). Ottengo che \( y(x)=c_1e^{-\frac{1}{x}} \). Ora mi chiedo se posso prolungare tale soluzione in $0$. Allora:
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} y(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}c_1e^{-\frac{1}{x}}=0 \) e \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} y'(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}c_1\frac{1}{x^2}e^{-\frac{1}{x}}=0 \). Quindi le funzioni \( y(x)=\begin{cases} c_1e^{-\frac{1}{x}} &\text{se}\ x>0 \\ 0&\text{se}\ x=0 \end{cases} \) sono tutte soluzioni in $[0,+\infty)$. Se volessi una soluzione in $\mathbb{R}$ basterebbe definire la soluzione come \( \begin{cases} c_1e^{-\frac{1}{x}} &\text{se}\ x>0 \\ 0 &\text{se}\ x\leq0 \end{cases} \).
Quindi per $y_0=0$ esistono infinite soluzioni (al variare di $c_1$) del Problema di Cauchy definite su $\mathbb{R}$ o su $[0,+\infty)$. Non sono soddisfatti i teoremi di esistenza e unicità perché se $x_0=0$ non posso dividere l'equazione differenziale per $x^2$, giusto?
Es. Stabilire per quali $y_0\in\mathbb{R}$ il problema di Cauchy \( \begin{cases} x^2y'(x)=y(x) \\ y(0)=y_0 \end{cases} \) ammette soluzioni.
Svolgimento Osservo che sostituendo la condizione iniziale nell'eq. differenziale ho che \( 0\cdot y'(0)=y_0 \).
Quindi se $y_0\ne 0$ allora il Problema di Cauchy non ammette soluzioni.
Ci rimane da capire se il Problema di Cauchy seguente \( \begin{cases} x^2y'(x)=y(x) \\ y(0)=0 \end{cases} \) ammette soluzioni.
Ho pensato di farlo così. Inizialmente mi metto nell'intervallo $(0,+\infty)$ così posso ridurmi in forma normale e risolvere l'eq differenziale \( y'(x)=\frac{1}{x^2}y'(x) \) in \( (0,+\infty) \). Ottengo che \( y(x)=c_1e^{-\frac{1}{x}} \). Ora mi chiedo se posso prolungare tale soluzione in $0$. Allora:
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} y(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}c_1e^{-\frac{1}{x}}=0 \) e \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+} y'(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}c_1\frac{1}{x^2}e^{-\frac{1}{x}}=0 \). Quindi le funzioni \( y(x)=\begin{cases} c_1e^{-\frac{1}{x}} &\text{se}\ x>0 \\ 0&\text{se}\ x=0 \end{cases} \) sono tutte soluzioni in $[0,+\infty)$. Se volessi una soluzione in $\mathbb{R}$ basterebbe definire la soluzione come \( \begin{cases} c_1e^{-\frac{1}{x}} &\text{se}\ x>0 \\ 0 &\text{se}\ x\leq0 \end{cases} \).
Quindi per $y_0=0$ esistono infinite soluzioni (al variare di $c_1$) del Problema di Cauchy definite su $\mathbb{R}$ o su $[0,+\infty)$. Non sono soddisfatti i teoremi di esistenza e unicità perché se $x_0=0$ non posso dividere l'equazione differenziale per $x^2$, giusto?
Risposte
Mi sembra un ottimo svolgimento.
"dissonance":
Mi sembra un ottimo svolgimento.
Grazie mille del riscontro!
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