Problema di cauchy

[itisscience]

ho il seguente problema di cauchy $ { ( y'''-y=0 ),( y(0)=1 ),( y'(0)=0 ),( y''(0)=0 ):} $ da risolvere.
da $ p(λ)=λ^3-1=0 $ trovo le 3 radici cubiche dell'unità: $ 1,e^(i2/3pi),e^(i4/3pi) $

il mio dubbio è questo: è vero che sono equivalenti questi due modi di procedere?
1° modo) $ y(x)=c_0e^x+c_1e^(i2/3pix)+c_2e^(i4/3pix) $
2° modo) $ y(x)=c_0e^x+c_1e^(-1/2x)sin((√3)/2x)+c_2e^(-1/2x)cos((√3)/2x) $
perchè riscrivendo $ e^(i2/3pi)=-1/2+i(√3)/2 $ e $ e^(i4/3pi)=-1/2+i(√3)/2 $ noto che sono complessi coniugati

(ps. è l'ultimo topic per oggi, devo prima risolvere tutti questi dubbi )

[pilloeffe]

Ciao itisscience,

"itisscience":perchè riscrivendo $e^(i2/3pi)=-1/2+i(√3)/2 $ e $ e^(i4/3pi)=-1/2+i(√3)/2 $ noto che sono complessi coniugati

Attenzione che hai scritto bene che sono complessi coniugati, ma precedentemente hai scritto male l'espressione di $e^(i4/3pi)$ perché si ha:

$ e^(i4/3pi)=-1/2- i(\sqrt{3})/2 $

Dato che poi $ e^(i 4/3 \pi) = e^(- i 2/3 \pi) $, questo dovrebbe consentirti (facendo buon uso delle formule di Eulero) di autorispondere alla domanda che hai posto...

In definitiva la soluzione del PdC proposto è la seguente:

$y(x) = 1/3 [e^x + 2 e^(-x/2) cos(sqrt(3)/2 x)] $