Problema di cauchy

[itisscience]

dato il seguente PdC $ { ( y'=ycos^3x-(ycosx)^3 ),( y(pi/2)=-1/2 ):} $ , col metodo delle separazioni delle variabili, trovo $ -1/2ln|(1/y^3-2)|=sinx-1/3sin^3x+c $

ho tre domande da porvi
1) potreste darmi conferma che sostituendo i dati iniziali del PdC si ottenga $ c=-1/6-1/2ln(3) $ ?

2) il libro dice che, per procedere e isolare la $ y(x) $ dall'equazione che ho scritto, si osserva che in un intorno dell'istante iniziale $ x_0=pi/2 $ la funzione y assumerà valori tali che l'argomento del valore assoluto assumerà valori positivi.
questa affermazione non l'ho capita...

3) l'intervallo massimale di esistenza di $ y(x)=-(1+3e^(8/3)e^(-2(sinx+1/3sin^3x)))^(-1/2) $ è $ RR $ ?

[pilloeffe]

Ciao itisscience,

Separando le variabili a me risulta

$1/2 ln|y^2/(1 - y^2)| = sinx - 1/3 sin^3x + c $

Quindi inserendo la condizione $ y(pi/2)= - 1/2 $ si ha:

$ 1/2 ln|(1/4)/(1 - (1/4))| = 1 - 1/3 + c \implies c = - 2/3 + 1/2 ln(1/3) $

Sostituendo tale valore di $c$ nella relazione ottenuta poc'anzi si ha:

$1/2 ln|y^2/(1 - y^2)| = sinx - 1/3 sin^3x - 2/3 + 1/2 ln(1/3) $

$1/2 ln|y^2/(1 - y^2)| - 1/2 ln(1/3) = sinx - 1/3 sin^3x - 2/3 $

$ ln|y^2/(1 - y^2)| - ln(1/3) = 2 sinx - 2/3 sin^3x - 4/3 $

$ ln|(3y^2)/(1 - y^2)| = 2 sinx - 2/3 sin^3x - 4/3 $

$ |(3y^2)/(1 - y^2)| = e^{2 sinx - 2/3 sin^3x - 4/3} $

Possiamo togliere il modulo supponendo $1 - y^2 > 0 $, per cui si ha:

$3y^2 = e^{2 sinx - 2/3 sin^3x - 4/3} - y^2 e^{2 sinx - 2/3 sin^3x - 4/3} $

$(3 + e^{2 sinx - 2/3 sin^3x - 4/3})y^2 = e^{2 sinx - 2/3 sin^3x - 4/3} $

$ y(x) = \pm sqrt{\frac{e^{2 sinx - 2/3 sin^3x - 4/3}}{3 + e^{2 sinx - 2/3 sin^3x - 4/3}}} $

$ y(x) = \pm sqrt{\frac{1}{1 + 3 e^{- 2 sinx + 2/3 sin^3x + 4/3}}} $

$ y(x) = \pm sqrt{\frac{1}{1 + 3 e^{4/3}e^{- 2 (sinx - 1/3 sin^3x)}} $

Dato che $y(\pi/2) = - 1/2 $ ovviamente occorre scegliere il segno negativo:

$ y(x) = - sqrt{\frac{1}{1 + 3 e^{4/3}e^{- 2 (sinx - 1/3 sin^3x)}} $

[itisscience]

chiarissimo, grazie