Problema di Cauchy

[FinixFighter]

Ciao a tutti, sto provando a risolvere il seguente PdC, solo che a un certo punti i calcoli mi risultano impossibili; l'equazione differenziale è $ y''-9y=e^(3x)+sin(3x) $ con condizioni $ y(0)=0 $ e $ y'(0)=1 $ .
Per prima cosa ho risolto l'equazione associata (con delta positivo) trovando come soluzioni $ lambda1=3,lambda2=-3 $ .
A questo punto probabilmente sbaglio l'impostazione, perchè io scrivo una soluzione particolare per $ y''-9y=e^(3x) $ , cioè:
$ y(x)=c1*e^(lambda1x)+c2*e^(lambda2x)=c1*e^(3x)+c2*e^(-3x) $
mentre come soluzione particolare per $ y''-9y=sin(3x) $ scrivo:
$ y(x)=c3*cos(3x)+c4*sin(3x) $
Quindi in definitiva (sommandole): $ y(x)=c1*e^(3x)+c2*e^(-3x)+c3*cos(3x)+c4*sin(3x) $
A questo punto calcolo la derivata seconda, che è: $ y''(x)=3e^(3x)+9c1e^(3x)-3e^(-3x)-9c2e^(-3x)+sin(3x)(-3-3c4)+cos(3x)(-3c3+3) $
A questo punto sostituisco nell'eqazione differenziale di partenza, e al primo termine mi viene $ e^(3x)(3+9c1-9c1)+... $ a questo punti mi fermo perchè si vede già da subito che il termina fra parentesi (3+9c1-9c1) dovrà essere uguale a 1 (in modo tale da fare rimanere solo $ e^(3x) $ ), però 3=1 è impossibile...
Qualcuno potrebbe darmi una mano per favore

[pilloeffe]

Ciao FinixFighter,

A parte il fatto che ha ragione arnett, la soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata a quella proposta è la seguente:

$y_o(x) = c_1 e^{3x} + c_2 e^{-3x} $

Dato che l'equazione differenziale di partenza è lineare, per trovare la soluzione particolare possiamo considerare le due equazioni differenziali seguenti:

$ y'' - 9y = sin(3x) $
$ y''- 9y = e^{3x} $

Mentre è ragionevole cercare una soluzione particolare della prima nella forma $A sin(3x) $ e dopo qualche semplice calcolo si trova $A = - 1/18 $, sfortunatamente non è altrettanto ragionevole cercare una soluzione particolare della seconda nella forma $B e^{3x} $: infatti con una veloce sostituzione si vede subito che si avrebbe $0 = e^{3x} $, che ovviamente non può essere. Suggerimento: cercare una soluzione particolare della seconda nella forma $Bx e^{3x} $

[FinixFighter]

Allora, intanto vi ringrazio per gli input Ho notato che addirittura ho sbagliato pure il segno del determinante... Le radici sono i3 e -i3, quindi $ alpha=0 $ per cui $ y0(x)=c1cos(3x)+c2sin(3x) $
Ora, per $ e^(3x) $ ho posto $ bar(y1)=Axe^(3x) $ mentre per l'altra $ bar(y2)=Bsin(3x) $ . A questo punto ho calcolato la derivata seconda della somma di queste ultime due:
$ bar(y)'=3Ae^(3x)+3Ae^(3x)+9Axe^(3x)-9Bsin(3x) $ e sostituendo nell'equazione differenziale di partenza:
$ e^(3x)(6A+9Ax)-9Bsin(3x)-9Axe^(3x)-9Bsin(3x)=e^(3x)+sin(3x) $ e ho trovato $ A=1/6, B=-1/18 $
Quindi la soluzione particolare è $ bar(y)(x)=1/6xe^(3x)-1/18sin(3x) $ e l'integrale generale è:
$ y(x)=y0(x)+bar(y)(x)=c1cos(3x)+c2sin(3x)+1/6xe^(3x)-1/18sin(3x) $
Imponendo le condizioni al contorno si trova $ c1=0,c2=1/3 $ e quindi:
$ y(x)=1/3sin(3x)+1/6xe^(3x)-1/18sin(3x) $
E' corretto?

[FinixFighter]

Ok quindi si ha: $ y(x)=c1e^(3x)+c2e^(-3x)+1/6e^(3x)-1/18sin(3x) $ e applicando la prima condizione al contorno trovo c1=c2. Però con la seconda trovo $ 1=3c1-3c2 $
Dov'è che continuo a sbagliare?

[pilloeffe]

"FinixFighter":Dov'è che continuo a sbagliare?

Nella soluzione che, come cercavo di farti capire, è la seguente:

$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1e^(3x) + c_2e^(-3x) +1/6 x e^(3x) -1/18sin(3x) $

Quindi quella che hai scritto non è corretta (manca la $x$ nel termine con $e^{3x} $).

[FinixFighter]

Si scusami è stato un errore di battitura, in realtà la x l'avevo messa (negli appunti). Ma quindi applicando le condizioni al contorno che valori hanno c1 e c2? zero?

[pilloeffe]

"FinixFighter":Ma quindi applicando le condizioni al contorno che valori hanno c1 e c2? zero?

Segui il consiglio di arnett...

[FinixFighter]

Si infatti trovo c1+c2=0 però poi imponendo la seconda condizione trovo $ 1=3c1-3c2 $ che sarebbe 1=0 dato che c1=c2..

[FinixFighter]

Si infatti ottengo 0=c1+c2. Ho rifatto i conti e avevo fatto qualche errore da elementare
La soluzione dovrebbe essere:
$ y(x)=1/6e^(3x)-1/6e^(-3x)+1/6xe^(3x)-1/18sin(3x) $

[pilloeffe]

... Ovvero, raccogliendo $1/18 $:

$y(x) = 1/18 [3 e^{3x}(x + 1) - 3 e^{-3x} - sin(3x)] $