Problema di Cauchy
Buonasera a tutti, ho risolto il seguente problema di Cauchy, ma ho una domanda.
Si tratta di una semplice equazione differenziale lineare del 1^ ordine del tipo $y'=a(t)y+b(t)$, perciò ho usato direttamente la formula risolutoria $y(t)=e^{\inta(t)dt}(b(t)e^{-\inta(t)dt}dt+c)$.
Non riporto tutti i passaggi perchè sennò non finirei più di scrivere, ma cito solo una operazione che si è resa necessaria: svolgendo i calcoli si arriva ad avere $|t-1|$, il quale viene semplificato in $-(t-1)$ visto che per $t_0=0\Rightarrow 0-1=-1<0$.
Ho una domanda sul più grande insieme in cui è definita la soluzione: come soluzione finale si trova $y(t)=\frac{1}{2}t(t-1)(t-2)$ e il testo dice che il più grande insieme di definizione è $(-\infty,1^-)$.
Io non sono d'accordo (sbagliando evidentemente): visto che si tratta di un polinomio secondo me il più grande insieme di definizione è tutto $\mathbbR$.
Qualcuno riuscirebbe a farmi notare dove sbaglio col ragionamento? Grazie mille
Si tratta di una semplice equazione differenziale lineare del 1^ ordine del tipo $y'=a(t)y+b(t)$, perciò ho usato direttamente la formula risolutoria $y(t)=e^{\inta(t)dt}(b(t)e^{-\inta(t)dt}dt+c)$.
Non riporto tutti i passaggi perchè sennò non finirei più di scrivere, ma cito solo una operazione che si è resa necessaria: svolgendo i calcoli si arriva ad avere $|t-1|$, il quale viene semplificato in $-(t-1)$ visto che per $t_0=0\Rightarrow 0-1=-1<0$.
Ho una domanda sul più grande insieme in cui è definita la soluzione: come soluzione finale si trova $y(t)=\frac{1}{2}t(t-1)(t-2)$ e il testo dice che il più grande insieme di definizione è $(-\infty,1^-)$.
Io non sono d'accordo (sbagliando evidentemente): visto che si tratta di un polinomio secondo me il più grande insieme di definizione è tutto $\mathbbR$.
Qualcuno riuscirebbe a farmi notare dove sbaglio col ragionamento? Grazie mille
Risposte
l'equazione differenziale non è autonoma, quindi dipende fortemente dalla variabile.
In $t=1$ l'equazione perde di significato, quindi devi toglierla dal dominio di una qualsiasi soluzione
In $t=1$ l'equazione perde di significato, quindi devi toglierla dal dominio di una qualsiasi soluzione
"anto_zoolander":
In t=1 l'equazione perde di significato, quindi devi toglierla dal dominio di una qualsiasi soluzione
Concordo, però così il dominio da considerare, modificando la mia tesi, diventa: $(-\infty,1^-)\cup(1^+,+\infty)$
due cose:
1. cosa significano $1^(-)$ e $1^(+)$?
2. Le soluzioni vanno prese in intervalli, quindi se ne prende uno tra i due(che poi hanno la stessa cardinalità e sono disgiunti, quindi non so su cosa basi la 'grandezza'). Onestamente non so perché si richieda di usare gli intervalli, ma penso per ragioni di connessione dell'insieme di definizione.
1. cosa significano $1^(-)$ e $1^(+)$?
2. Le soluzioni vanno prese in intervalli, quindi se ne prende uno tra i due(che poi hanno la stessa cardinalità e sono disgiunti, quindi non so su cosa basi la 'grandezza'). Onestamente non so perché si richieda di usare gli intervalli, ma penso per ragioni di connessione dell'insieme di definizione.
"anto_zoolander":
1. cosa significano 1− e 1+?
Considero l'intorno sinistro e destro rispettivamente del punto $t=1$.
"anto_zoolander":
Le soluzioni vanno prese in intervalli, quindi se ne prende uno tra i due
Perfetto, ma come faccio a capire che debba considerare proprio $(-\infty,1^-)$ piuttosto che $(1^+,+\infty)$?
Ciao Fabbiooo,
In quale dei due intervalli che hai citato è contenuta la condizione iniziale $y(0) = 0 $ ?
In quale dei due intervalli che hai citato è contenuta la condizione iniziale $y(0) = 0 $ ?
"pilloeffe":
In quale dei due intervalli che hai citato è contenuta la condizione iniziale y(0)=0 ?
Mi hai tolto ogni considerevole dubbio con questa domanda
Grazie pilloeffe
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo