Problema di cauchy
Salve,
Ho il seguente esercizio
Si determini l'integrale generale dell'equazione
$y''(t)+y'(t)−2y(t)=e^t$
Tra le soluzioni trovate determinare quella per cui $y(0)=0$ e
$\int_{0}^{1}y(t) dt =0$
Per la prima parte non c'è problema ho trovato la soluzione dell' equazione differenziale trovando prima le soluzioni della omogenea associata e poi la particolare applicando il metodo della somiglianza.
Tuttavia non riesco a capire come applicare la seconda condizione per determinare le costanti. Ad occhio ho trovato che valgono entrambe 0 ma non riesco a condurmi al ragionamento da fare.
Qualcuno saprebbe indirizzarmi?!?
Grazie
Ho il seguente esercizio
Si determini l'integrale generale dell'equazione
$y''(t)+y'(t)−2y(t)=e^t$
Tra le soluzioni trovate determinare quella per cui $y(0)=0$ e
$\int_{0}^{1}y(t) dt =0$
Per la prima parte non c'è problema ho trovato la soluzione dell' equazione differenziale trovando prima le soluzioni della omogenea associata e poi la particolare applicando il metodo della somiglianza.
Tuttavia non riesco a capire come applicare la seconda condizione per determinare le costanti. Ad occhio ho trovato che valgono entrambe 0 ma non riesco a condurmi al ragionamento da fare.
Qualcuno saprebbe indirizzarmi?!?
Grazie
Risposte
Ciao enzolo89,
Dai, hai 76 messaggi, possibile che tu non riesca a scrivere una sciocchezza del genere?
Guarda, te la scrivo io qui di seguito, così potrai copiarla e sostituirla all'immagine del tuo OP. Se lo farai poi parliamo del problema specifico, che comunque non mi pare particolarmente complicato.
Esercizio 1 [6 punti] Si determini l'integrale generale dell'equazione
$y''(t) + y'(t) - 2y(t) = e^t $
Tra le soluzioni trovate determinare quella per cui $y(0) = 0 $ e
$\int_0^1 y(t) dt = 0 $
Dai, hai 76 messaggi, possibile che tu non riesca a scrivere una sciocchezza del genere?
Guarda, te la scrivo io qui di seguito, così potrai copiarla e sostituirla all'immagine del tuo OP. Se lo farai poi parliamo del problema specifico, che comunque non mi pare particolarmente complicato.
Esercizio 1 [6 punti] Si determini l'integrale generale dell'equazione
$y''(t) + y'(t) - 2y(t) = e^t $
Tra le soluzioni trovate determinare quella per cui $y(0) = 0 $ e
$\int_0^1 y(t) dt = 0 $
Hai ragione ero col tablet e di fretta e mi veniva scomodo, ma ho provveduto a correggere.
Bravo, visto che non era poi così complicato?
Correggi anche l'esponenziale, che si scrive così:
Veniamo al problema. Avrai senz'altro trovato che la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$y(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-2t} +1/3 t e^t $
Quindi imponendo $y(0) = 0 $ si ha $0 = y(0) = c_1 + c_2 \implies c_2 = - c_1 $
Adesso hai $y(t) = c_1 e^t - c_1 e^{-2t} +1/3 t e^t $
Imponendo la seconda condizione determini $c_1$:
$\int_0^1 (c_1 e^t - c_1 e^{-2t} +1/3 t e^t) \text{d}t = 0 $
Correggi anche l'esponenziale, che si scrive così:
e^t
Veniamo al problema. Avrai senz'altro trovato che la soluzione dell'equazione differenziale proposta è la seguente:
$y(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-2t} +1/3 t e^t $
Quindi imponendo $y(0) = 0 $ si ha $0 = y(0) = c_1 + c_2 \implies c_2 = - c_1 $
Adesso hai $y(t) = c_1 e^t - c_1 e^{-2t} +1/3 t e^t $
Imponendo la seconda condizione determini $c_1$:
$\int_0^1 (c_1 e^t - c_1 e^{-2t} +1/3 t e^t) \text{d}t = 0 $
Grazie, in effetti ci avevo pensato ma mi sembrava troppo banale ed inoltre non ci ha mai assegnato esercizi con una condizione simile...
Grazie per la tua disponibilità
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