Problema di Cauchy

[foxxucv]

Ciao a tutti!
Sto smattando da un quarto d'ora su un esercizio di cui non vedo lontanamente la soluzione, l'esercizio è il seguente:
$x'=sqrt(1-x^2)$ e $x(pi/2)=0$. Aiutatemi per favore

[pilloeffe]

Ciao foxxucv,

E' semplice, è a variabili separabili:

$ x' = sqrt(1-x^2) \implies frac{dx}{dt} = sqrt(1-x^2) \implies frac{dx}{sqrt(1-x^2)} = dt $

Integrando si ha:

$\int frac{dx}{sqrt(1-x^2)} = \int dt $
$ arcsin(x) = t + c $
$x(t) = sin(t + c) $

Dalla condizione $ x(pi/2) = 0 \implies pi/2 + c = 0 \implies c = - pi/2 $

Perciò la soluzione del problema di Cauchy proposto è $ x(t) = sin(t - pi/2) $

[foxxucv]

Io non la stavo trattando come un'equazione a variabili separabili, bensì come una funzione che dipende solo da $x$ e cercavo perciò di svolgere l'integrale della radice (senza successo). Perciò ti chiedo come fai a capire che è a variabili separabili? Non dovrebbe essere presente anche un'altra variabile tipo la $y$? E con questo non metto in dubbio che sia giusto ahahaha voglio solo capire il procedimento.

[pilloeffe]

Beh, no, qui è la $x$ che è funzione di qualche variabile, che io ho chiamato $t$, ma che tu se vuoi puoi chiamare anche $\theta$ od in qualsiasi altro modo preferisci: questo lo si capisce bene dalla condizione $x(pi/2) = 0 $, dalla quale si evince chiaramente che c'è da calcolare la funzione $x(t) $ per $t = pi/2 $.