Problema di Cauchy

[Lelouko]

Ho che $y'=(1+y^4)/(2y^3(2+x))$ e che $y(0)=root(4)(3)$. Ho provato a risolverlo spostando prima le y dall'altra parte e poi facendo l'integrale ad entrambi e quindi : $\int (y')(2y^3)/(1+y^4) dy$ = $\int 1/(2+x)dx$. Alla fine mi viene $ 2log|1+y|= log|2+x|+c$, per il primo integrale usando il metodo della sostituzione e poi facendomi riferimento agli integrali noti. Poi da questo non riesco a capire come mettere in evidenza la y , inoltre ho visto anche che su Wolfram Alpha viene tutto sotto radice di 4, ma non riesco a capire perchè.
Grazie in anticipo per il vostro aiuto e scusatemi per eventuali errori.

[Ziben]

Ciao,
innanzi tutto fai attenzione che la derivata di $1+y^4$ è $4y^3$, pertanto hai bisogno di un fattore $4$ a numeratore del primo integrale. Poi il primo integrale come primitiva ha $log(1+y^4)$ e non $log|1+y|$. Per esplicitare la $y$ utilizzi la funzione esponenziale, inversa del logaritmo, per entrambi i membri

[Lelouko]

Ricontrollando credo di aver sbagliato, infatti dovrebbe essere $ \int (y')/((1+y^4)(2y^3)) dy $ , quindi provo a sosituire, ponendo $ z=y$ e $ y' dy= 1 dz $ e viene quindi $\int 1/(1+z^4(2z^3)) dz $, sperando di non aver sbagliato questa volta. Questo integrale però non capisco come risolverlo e per l'utente Ziben, non credo che sia quella la soluzione giusta

[seb1]

Occhio che stai facendo confusione: era (quasi) giusta la prima scrittura. Inserendo direttamente la condizione iniziale si ha:\[\int_{y(0)}^y\frac{2s^3}{1+s^4}\mathrm{d}s=\int_0^x\frac{1}{2+t}\mathrm{d}t\implies\frac{1}{2}\ln{\frac{1+y^4}{4}}=\ln\left|{1+\frac{x}{2}}\right|\]dove si è tenuto conto di ciò che giustamente notava Ziben. Proseguendo:\[\frac{1+y^4}{4}=\left(1+\frac{x}{2}\right)^2\implies y(x)=\sqrt[4]{x^2+4x+3}\]

[Lelouko]

Ow ora ho capito, grazie mille ad entrambi!