Problema di Cauchy
Mi sono imbattuto in questo strano esercizio sul problema di Cauchy che non ho mai affrontato prima:
$ { ( u'=Au ),( u(0)=u_0):} $
dove $ u:R->R^2 $, $ A=( ( -3 , 2 ),( -12 , 7 ) ) $ e $ u_0=( ( 1 ),( 1 ) ) $
Qualcuno ha un'idea su come vada risolto?
Grazie mille per l'aiuto!
$ { ( u'=Au ),( u(0)=u_0):} $
dove $ u:R->R^2 $, $ A=( ( -3 , 2 ),( -12 , 7 ) ) $ e $ u_0=( ( 1 ),( 1 ) ) $
Qualcuno ha un'idea su come vada risolto?
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
La prima volta che incontrai un'equazione differenziale del genere in Meccanica Analitica rimasi spiazzato anche io, ma la risoluzione è più semplice di quanto si possa pensare! 
L'equazione è un'equazione differenziale, vettoriale ma in forma normale e lineare. Analogamente alle forme scalari, si suppone la soluzione sia nella forma:
$\vec(u)(t)=\vec(v)e^(\lambdat)$
Dove $\vec(v)$ è necessariamente un vettore, e $\lambda$ è certamente uno scalare. Andando a sostituire nell'equazione, si ottiene qualcosa di simile al classico "polinomio caratteristico":
$\vec(u)'=A\vec(u) \Rightarrow \lambda\vec(v)e^(\lambdat)=\vec(v)Ae^(\lambdat)$
Semplificando il termine $e^(\lambdat)$,
$\lambda\vec(v)=A\vec(v) \Rightarrow \vec(v)(A-\lambdaI)=\vec(0)$
Dove I è la matrice identica. Riconoscerai che ora il problema è un semplice problema agli autovalori: in particolar modo, gli autovalori di A costituiscono le costanti $\lambda_1, \lambda_2$ che appaiono agli esponenti, e i relativi autovettori $\vec(v_1),\vec(v_2)$ i coefficienti degli esponenziali.
Facendo i calcoli, si ricavano gli autovalori, nel tuo caso,
$\lambda_1=1, \lambda_2=3$
i cui rispettivi autovalori saranno:
$\vec(v_1)=((1),(2))$ e $\vec(v_2)=((1),(3))$
(Se ho fatto bene i calcoli!)
Da qui hai che:
$\vec(u)=C_1((1),(2))e^t+C_2((1),(3))e^(3t)$
Dove $C_1$ e $C_2$ puoi trovarli imponendo la condizione iniziale. Anche se non ho ben capito, vale $\vec(u)(0)=(0,0)$ o $\vec(u)(0)=\vec(u)_0=(1,1)$?
L'equazione è un'equazione differenziale, vettoriale ma in forma normale e lineare. Analogamente alle forme scalari, si suppone la soluzione sia nella forma:
$\vec(u)(t)=\vec(v)e^(\lambdat)$
Dove $\vec(v)$ è necessariamente un vettore, e $\lambda$ è certamente uno scalare. Andando a sostituire nell'equazione, si ottiene qualcosa di simile al classico "polinomio caratteristico":
$\vec(u)'=A\vec(u) \Rightarrow \lambda\vec(v)e^(\lambdat)=\vec(v)Ae^(\lambdat)$
Semplificando il termine $e^(\lambdat)$,
$\lambda\vec(v)=A\vec(v) \Rightarrow \vec(v)(A-\lambdaI)=\vec(0)$
Dove I è la matrice identica. Riconoscerai che ora il problema è un semplice problema agli autovalori: in particolar modo, gli autovalori di A costituiscono le costanti $\lambda_1, \lambda_2$ che appaiono agli esponenti, e i relativi autovettori $\vec(v_1),\vec(v_2)$ i coefficienti degli esponenziali.
Facendo i calcoli, si ricavano gli autovalori, nel tuo caso,
$\lambda_1=1, \lambda_2=3$
i cui rispettivi autovalori saranno:
$\vec(v_1)=((1),(2))$ e $\vec(v_2)=((1),(3))$
(Se ho fatto bene i calcoli!)
Da qui hai che:
$\vec(u)=C_1((1),(2))e^t+C_2((1),(3))e^(3t)$
Dove $C_1$ e $C_2$ puoi trovarli imponendo la condizione iniziale. Anche se non ho ben capito, vale $\vec(u)(0)=(0,0)$ o $\vec(u)(0)=\vec(u)_0=(1,1)$?
Ciao, ti ringrazio per la risposta! La condizione è $ u(0)=(0,0) $ .
Sicuro? Che io ricordi, la soluzione con condizione iniziale nulla è $\vec(u)=(0,0)$, che verifica l'equazione ed è quindi l'unica soluzione! Mi sbaglio?
Ah no hai ragione, scusa:
$ u(0)=u_(0) $
$ u(0)=u_(0) $
Allora sai che:
$\vec(u)(0)=((1),(1))=C_1((1),(2))+C_2((1),(3))$
Che equivale al sistema, per le singole componenti,
${(C_1+C_2=1), (2C_1+3C_2=1):}$
Che ti dà:
$C_1=-1$ e $C_2=2$
E hai risolto il tuo problema di Cauchy
$\vec(u)(0)=((1),(1))=C_1((1),(2))+C_2((1),(3))$
Che equivale al sistema, per le singole componenti,
${(C_1+C_2=1), (2C_1+3C_2=1):}$
Che ti dà:
$C_1=-1$ e $C_2=2$
E hai risolto il tuo problema di Cauchy
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