Problema di Cauchy

[Luthien1]

Salve a tutti,
sto preparando l'esame di Analisi 2 e mi sono imbattuta in un problema che non riesco a risolvere (e a capire) neanche dopo ore passate su internet.
Dato il problema di Cauchy:
\begin{equation}
\begin{cases}
y'=y^4\\y(0)=0
\end{cases}
\end{equation}
vorrei determinarne le soluzioni. Su Wolfram Alpha vedo che le soluzioni sono più di una e non capisco quale ipotesi del teorema di Peano-Picard non sia soddisfatta. La funzione $y^4$ è continua e localmente lipschitziana in un intorno di zero e il metodo delle approssimazioni successive non funziona. Insomma, non capisco come gestire questo apparentemente semplice problema di Cauchy. Qualcuno può darmi una mano?

[Rigel1]

Quando hai un'equazione autonoma, cioè del tipo \(y' = f(y)\), in corrispondenza degli zeri di \(f\) hai soluzioni costanti. In altri termini, se \(f(y_0) = 0\), allora la funzione costante \(y(t) = y_0\), \(t\in \mathbf{R}\), è una soluzione dell'equazione differenziale. Se, inoltre, \(f\) è localmente lipschitziana, valgono le ipotesi del teorema di esistenza e unicità locale; di conseguenza, (sempre se \(f(y_0) = 0\)), per ogni \(t_0 \in \mathbf{R}\) il problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
y' = f(y),\\
y(t_0) = y_0
\end{cases}
\]
ammette come unica soluzione la funzione costante \(y(t) = y_0\), \(t\in \mathbf{R}\).

[Luthien1]

Ti ringrazio, chiarissimo, ero entrata in un brutto loop e mi stavo confondendo!