Problema di Cauchy
Ho il seguente problema:
$\{(y' = 2y+1),(y(0)=1):}$
Usando la formula risolutiva generale
$y(x)=ce^(-\int 2dx)+e^(-\int 2x)\int (e^(\int 2dx)dx)=ce^(-2x)+e^(-2x)\int(e^(2x)dx)$
Il secondo integrale lo risolvo con la sostituzione $u=2x\ du=2x ->1/2 e^(2x)$
$y(x)=ce^(-2x)+e^(-2x)*1/2 e^(2x) = ce^(-2x) +1/2$
$y(0)=c + 1/2 = 1 -> c=1/2$
$y(x)=1/2 (e^(-2x) +1)$
Il risultato però dovrebbe essere
$y = (3e^(2x)-1)/2$
Dove sbaglio? Ho ripetuto due volte l'esercizio ma non capisco l'errore... Grazie
$\{(y' = 2y+1),(y(0)=1):}$
Usando la formula risolutiva generale
$y(x)=ce^(-\int 2dx)+e^(-\int 2x)\int (e^(\int 2dx)dx)=ce^(-2x)+e^(-2x)\int(e^(2x)dx)$
Il secondo integrale lo risolvo con la sostituzione $u=2x\ du=2x ->1/2 e^(2x)$
$y(x)=ce^(-2x)+e^(-2x)*1/2 e^(2x) = ce^(-2x) +1/2$
$y(0)=c + 1/2 = 1 -> c=1/2$
$y(x)=1/2 (e^(-2x) +1)$
Il risultato però dovrebbe essere
$y = (3e^(2x)-1)/2$
Dove sbaglio? Ho ripetuto due volte l'esercizio ma non capisco l'errore... Grazie
Risposte
La formula risolutiva è sbagliata: per l'equazione $y'(x) + a(x)y(x)=f(x)$ è
\[y\left( x \right) = {e^{ - \int {a\left( x \right){\rm{d}}x} }}\left[ {c + \int {{e^{\int {a\left( x \right){\rm{d}}x} }}f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right]\]
Nel caso specifico hai dunque
\[y\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {c + \int {{e^{ - 2x}}{\rm{d}}x} } \right) = {e^{2x}}\left( {c - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}} \right)\]
che insieme alla condizione
\[y\left( 0 \right) = c - \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{2}\]
diventa
\[y\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {\frac{3}{2} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}} \right) = \frac{3}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2} = \frac{{3{e^{2x}} - 1}}{2}\]
\[y\left( x \right) = {e^{ - \int {a\left( x \right){\rm{d}}x} }}\left[ {c + \int {{e^{\int {a\left( x \right){\rm{d}}x} }}f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right]\]
Nel caso specifico hai dunque
\[y\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {c + \int {{e^{ - 2x}}{\rm{d}}x} } \right) = {e^{2x}}\left( {c - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}} \right)\]
che insieme alla condizione
\[y\left( 0 \right) = c - \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow c = \frac{3}{2}\]
diventa
\[y\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {\frac{3}{2} - \frac{1}{2}{e^{ - 2x}}} \right) = \frac{3}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2} = \frac{{3{e^{2x}} - 1}}{2}\]
La formula risolutiva mi sembra uguale alla tua:
$y'(x)+a(x)y(x) = b(x) -> y(x) =ce^(-\int(a(x)dx))+e^(-\int (a(x)dx))\intb(x)e^(\int a(x)dx) dx = e^(-\int (a(x)dx))[c+\intb(x)e^(\int a(x)dx) dx ]$
Mi sembra uguale tranne al nome della funzione $b(x)$ o $f(x)$
Anche seguendo la tua formula, io non ottengo il tuo risultato perchè procedendo per pezzi:
$e^(-\int a(x)dx) = e^(-\int 2dx) = e^(-2x)$
Perciò a me la prima parte esce con esponenziale negativo e non positivo...
$y'(x)+a(x)y(x) = b(x) -> y(x) =ce^(-\int(a(x)dx))+e^(-\int (a(x)dx))\intb(x)e^(\int a(x)dx) dx = e^(-\int (a(x)dx))[c+\intb(x)e^(\int a(x)dx) dx ]$
Mi sembra uguale tranne al nome della funzione $b(x)$ o $f(x)$
Anche seguendo la tua formula, io non ottengo il tuo risultato perchè procedendo per pezzi:
$e^(-\int a(x)dx) = e^(-\int 2dx) = e^(-2x)$
Perciò a me la prima parte esce con esponenziale negativo e non positivo...
Questo perché quando porti $a(x)$ a sinistra dell'uguale non cambi il segno, o comunque dimentichi di cambiarlo quando vai a sostituire nella formula 
Purtroppo continuo a non seguirti... Per me $a(x)$ è positivo, inserendolo nella formula resta positivo, ma il meno davanti all'integrale me lo rende negativo...
No, $a(x)$ non è positivo: se la formula risolutiva che hai adottato è uguale a quella che ti ho scritto, $a(x)$ è negativo:
Riportiamo alla forma $y(x)+a(x)y(x)=f(x)$:
dove
quindi
\[{e^{ - \int {a\left( x \right){\rm{d}}x} }} = {e^{ - \int {\left( { - 2} \right){\rm{d}}x} }} = {e^{\int {{\rm{2d}}x} }} = {e^{2x}}\left( { + c} \right)\]
\[{e^{\int {a\left( x \right){\rm{d}}x} }} = {e^{\int {\left( { - 2} \right){\rm{d}}x} }} = {e^{ - \int {{\rm{2d}}x} }} = {e^{ - 2x}}\left( { + c} \right)\]
"Mito125":
$\{(y' = 2y+1),(y(0)=1):}$
Riportiamo alla forma $y(x)+a(x)y(x)=f(x)$:
$y(x)-2y(x)=1$
dove
$a(x)=-2$
quindi
\[{e^{ - \int {a\left( x \right){\rm{d}}x} }} = {e^{ - \int {\left( { - 2} \right){\rm{d}}x} }} = {e^{\int {{\rm{2d}}x} }} = {e^{2x}}\left( { + c} \right)\]
\[{e^{\int {a\left( x \right){\rm{d}}x} }} = {e^{\int {\left( { - 2} \right){\rm{d}}x} }} = {e^{ - \int {{\rm{2d}}x} }} = {e^{ - 2x}}\left( { + c} \right)\]
Ora ho capito. Non avevo riportato nella forma canonica... Scusami se ti ho fatto perdere così tanto tempo per una banalità... Per me è risolto... Grazie ancora
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