Problema di Cauchy
Ciao a tutti!
Ho qualche problema con questo esercizio su un problema di Cauchy.
Dato il seguente problema di Cauchy
$x'=(4+sin(x))/(cos^2(t))$
$x(0)=1$
1) Indicare il dominio e discutere l'esistenza locale e globale delle soluzioni
2) Studiare la monotonia e il comportamento delle soluzioni agli estremi del dominio.
Suggerimento:
per lo studio del comportamento asintotico potrebbe essere utile considerare che
$3/(cos^2(t))<=(4+sin(x))/(cos^2(t))<=5/(cos^2(t))$ per qualsiasi $t in (-\pi/2;\pi/2)$
Allora, io ho provato a risolvere così.
1) Posto $f(t,x)=(4+sin(x))/(cos^2(t))$ il suo dominio sarà l'insieme $D=( (t,x) in RR^2$ tali che $ t!=+-k*\pi/2$ con $K in NN)$
Essendo $f(t,x)$ continua in D, con derivate parziali continue in D, ed essendo il punto $(0,1) in D$, per il teorema di esistenza e unicità possiamo affermare che esiste un'unica soluzione locale $\phi$ del problema proposto.
Come posso affrontare invece il problema dell'esistenza globale?
2) Osservando che abbiamo
$f(t,x)>0$ per qualsiasi $(t,x) in D$ avremo $\phi$ strettamente crescente.
Come posso fare invece per studiare il comportamento a $+-infty$ ?
Vorrei sapere se la parte che ho risolto è corretta, e come risolvere le parti che invece non sono riuscita a fare.
Grazie mille.
Ho qualche problema con questo esercizio su un problema di Cauchy.
Dato il seguente problema di Cauchy
$x'=(4+sin(x))/(cos^2(t))$
$x(0)=1$
1) Indicare il dominio e discutere l'esistenza locale e globale delle soluzioni
2) Studiare la monotonia e il comportamento delle soluzioni agli estremi del dominio.
Suggerimento:
per lo studio del comportamento asintotico potrebbe essere utile considerare che
$3/(cos^2(t))<=(4+sin(x))/(cos^2(t))<=5/(cos^2(t))$ per qualsiasi $t in (-\pi/2;\pi/2)$
Allora, io ho provato a risolvere così.
1) Posto $f(t,x)=(4+sin(x))/(cos^2(t))$ il suo dominio sarà l'insieme $D=( (t,x) in RR^2$ tali che $ t!=+-k*\pi/2$ con $K in NN)$
Essendo $f(t,x)$ continua in D, con derivate parziali continue in D, ed essendo il punto $(0,1) in D$, per il teorema di esistenza e unicità possiamo affermare che esiste un'unica soluzione locale $\phi$ del problema proposto.
Come posso affrontare invece il problema dell'esistenza globale?
2) Osservando che abbiamo
$f(t,x)>0$ per qualsiasi $(t,x) in D$ avremo $\phi$ strettamente crescente.
Come posso fare invece per studiare il comportamento a $+-infty$ ?
Vorrei sapere se la parte che ho risolto è corretta, e come risolvere le parti che invece non sono riuscita a fare.
Grazie mille.
Risposte
Secondo me non arrivi fino a $\pm \infty$. L'intervallo in cui cerchi la soluzione è al massimo $(-\pi/2, \pi/2)$. Al di fuori di questo hai una equazione differenziale singolare e le cose sono parecchio più complicate.
Grazie della risposta.
Come posso fare a studiare il comportamento della soluzione agli estremi? Io di solito in esercizi di questo tipo uso il teorema dell'asintoto, ma non estendendosi fino a infinito non lo posso usare!
Come posso fare a studiare il comportamento della soluzione agli estremi? Io di solito in esercizi di questo tipo uso il teorema dell'asintoto, ma non estendendosi fino a infinito non lo posso usare!
Il suggerimento è grosso. Quella disuguaglianza ti fornisce due problemi di Cauchy ausiliari che sono molto facili da risolvere e in termini dei quali puoi maggiorare e minorare la soluzione del tuo problema.
Quindi dovrei calcolare l'integrale tra 0 e t dei due problemi di Cauchy che mi fornisce la disuguaglianza e poi calcolare il limite per t che tende a $+-\pi/2$ ?
In quel caso l'integrale è la tangente e quindi la soluzione $phi$ agli estremi dell'intervallo tende a più e meno infinito?
Grazie
In quel caso l'integrale è la tangente e quindi la soluzione $phi$ agli estremi dell'intervallo tende a più e meno infinito?
Grazie
Lo devi scrivere per bene ma il concetto è quello.
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