Problema di Cauchy
Ciao a tutti 
Oggi vi propongo questo esercizio che non sono riuscito a capire come risolvere, perchè non mi è chiaro a quale casistica di equazioni differenziali debba ricondurmi.
L'esercizio è il seguente:
$ { ( y^prime=y/(2x)+x^2/(2y) ),( y(1)=1 ):} $
Grazie in anticipo
Oggi vi propongo questo esercizio che non sono riuscito a capire come risolvere, perchè non mi è chiaro a quale casistica di equazioni differenziali debba ricondurmi.
L'esercizio è il seguente:
$ { ( y^prime=y/(2x)+x^2/(2y) ),( y(1)=1 ):} $
Grazie in anticipo
Risposte
moltiplico per y tutto quanto:
$ y'y-y^2/(2x)=x^2/2 $
cambio variabile $ k=y^2/2 $ da cui $ k'=y'y $
e l'equazione diventa:
$ k'-k/x=x^2 $
e una bella equazione lineare e' servita!!
$ y'y-y^2/(2x)=x^2/2 $
cambio variabile $ k=y^2/2 $ da cui $ k'=y'y $
e l'equazione diventa:
$ k'-k/x=x^2 $
e una bella equazione lineare e' servita!!
Non ho capito perchè
$ k^prime =yy^prime $
e perchè il 2 al denominatore della $ x^2 $ scompaia.
In ogni caso ti ringrazio per la risposta
La soluzione dell'esercizio dovrebbe quindi essere:
$ y(x)=ce^lnx+x^3/2-1/2=x^3/2+cx-1/2 $
corretto?
$ k^prime =yy^prime $
e perchè il 2 al denominatore della $ x^2 $ scompaia.
In ogni caso ti ringrazio per la risposta
La soluzione dell'esercizio dovrebbe quindi essere:
$ y(x)=ce^lnx+x^3/2-1/2=x^3/2+cx-1/2 $
corretto?
ciao 
approfitto per una domandina..
l'ED in questione poteva anche esser considerata una ED lineare di Bernoulli?
del tipo : $ y^{\prime} = P(x)y + Q(x)y^(\alpha)$ ?
ovviamente, dato che si richiede l'integrabilità, occorre la continuità di $P(x)$ e $Q(x)$, quella di $P(x)$ viene a mancare in $x=0$...
approfitto per una domandina..l'ED in questione poteva anche esser considerata una ED lineare di Bernoulli?
del tipo : $ y^{\prime} = P(x)y + Q(x)y^(\alpha)$ ?
ovviamente, dato che si richiede l'integrabilità, occorre la continuità di $P(x)$ e $Q(x)$, quella di $P(x)$ viene a mancare in $x=0$...
$ k'=yy' $ per la semplice regola di derivazione di una funzione: se $ k(x)=(y^2(x))/2 $ allora $ (dk(x))/(dx)=y(x)dy/dx $.
Il 2 al denominatore sotto la $ x^2 $ scompare perche' me lo sono dimenticato...sorry...
e quindi l'equazione dopo il cambio di variabile senza dimenticare il 2 diventa:
$ k'-k/x=x^2/2 $
e la soluzione e' la seguente.
Usando la nota formula per le equazioni lineari:
$ k'+a(x)k=b(x) $
$ k(x)=e^(-A(x))[c+intb(x)e^(A(x))dx] $
dove $ A(x)=inta(x)dx $
$ A(x)=-int1/xdx=-ln(x)" "x>0 $ [la condizione di Cauchy e' per x=1; bisognerebbe discutere poi la soluzione in x<=0 ]
$ k(x)=x[c+intx^2/2*1/xdx]=x[c+1/4x^2] $
$ y(x)= sqrt(2k)=sqrt(2x[c+1/4x^2] $
applicando la condizione di Cauchy:
$ 1=sqrt(2(c+1/4))rarrc=1/4 $
quindi
$ y(x)=sqrt(x/2[1+x^2]) $
Il 2 al denominatore sotto la $ x^2 $ scompare perche' me lo sono dimenticato...sorry...
e quindi l'equazione dopo il cambio di variabile senza dimenticare il 2 diventa:
$ k'-k/x=x^2/2 $
e la soluzione e' la seguente.
Usando la nota formula per le equazioni lineari:
$ k'+a(x)k=b(x) $
$ k(x)=e^(-A(x))[c+intb(x)e^(A(x))dx] $
dove $ A(x)=inta(x)dx $
$ A(x)=-int1/xdx=-ln(x)" "x>0 $ [la condizione di Cauchy e' per x=1; bisognerebbe discutere poi la soluzione in x<=0 ]
$ k(x)=x[c+intx^2/2*1/xdx]=x[c+1/4x^2] $
$ y(x)= sqrt(2k)=sqrt(2x[c+1/4x^2] $
applicando la condizione di Cauchy:
$ 1=sqrt(2(c+1/4))rarrc=1/4 $
quindi
$ y(x)=sqrt(x/2[1+x^2]) $
Grazie mille 
tutto chiarissimo ora. Faccio ancora fatica a considerare la y come funzione e non come variabile, per quello non riuscivo a capire la trasformazione di prima.
tutto chiarissimo ora. Faccio ancora fatica a considerare la y come funzione e non come variabile, per quello non riuscivo a capire la trasformazione di prima.
@suv: L'ho risolta a la' Bernoulli, nel cambio di variabili ho aggiunto un 1/2 perche' c'era gia' nel secondo termine dell'equazione $ y^2/2 $ cosi' ero piu' comodo...
la soluzione che ho trovato e' quella massimale ed e' definita su $ (0,+oo) $. Nel caso di un problema di Cauchy con x<0 si prendevano le soluzioni con qualche segno - opportuno.
la soluzione che ho trovato e' quella massimale ed e' definita su $ (0,+oo) $. Nel caso di un problema di Cauchy con x<0 si prendevano le soluzioni con qualche segno - opportuno.
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