Problema di Cauchy
Ciao! Ho questo problema di Cauchy che ho provato a svolgere ma non capisco dove sbaglio.
$y'-lnty=t^t$
$y(1)=1$
ho usato la formula delle equazioni differenziale $y(t)e^(A(t))= int (e^(A(t))b(t) dt)+c$, dove A(t) è l'integrale di $-lnt$ e
$b(t)=t^t$
$e^(A(t))=e^t/t^t$
e mi viene $y(t) e^t/t^t=e^t+c$ sostituendo poi la condizione iniziale in questa equazione dovrei ricavare c che nel mio caso risulta essere 0 il che non combacia con la soluzione data dal libro. Dove sbaglio??
$y'-lnty=t^t$
$y(1)=1$
ho usato la formula delle equazioni differenziale $y(t)e^(A(t))= int (e^(A(t))b(t) dt)+c$, dove A(t) è l'integrale di $-lnt$ e
$b(t)=t^t$
$e^(A(t))=e^t/t^t$
e mi viene $y(t) e^t/t^t=e^t+c$ sostituendo poi la condizione iniziale in questa equazione dovrei ricavare c che nel mio caso risulta essere 0 il che non combacia con la soluzione data dal libro. Dove sbaglio??
Risposte
Il risultato dovrebbe essere $y(t)=t^t(1+e^(1-t))$.
"anonymous_c5d2a1":
Il risultato dovrebbe essere $y(t)=t^t(1+e^(1-t))$.
Il risultato lo so ma non capisco dove sbaglio!!
per farci capire dove sbagli dovresti postare i passaggi
allora: ponendo $a(t)=-lnt$ e $b(t)=t^t$, posso ricavare $A(t)=inta(t)dt=int(-lnt) dt=t-tlnt$
calcolando $e^A(t)=e^t/e^(tlnt)=e^t/t^t$
ponendo tutto ciò nella formula che ho scritto sopra mi ritrovo con:
$y(t) e^t/t^t=int(e^t/t^t) t^t dt+c$
$y(t)e^t/t^t=e^t+c$
$y(t)=t^t+ct^t/e^t$
Imponendo la condizione iniziale $y(1)=1$ ho così $1=1+c/e$ da cui ricavo c=0
calcolando $e^A(t)=e^t/e^(tlnt)=e^t/t^t$
ponendo tutto ciò nella formula che ho scritto sopra mi ritrovo con:
$y(t) e^t/t^t=int(e^t/t^t) t^t dt+c$
$y(t)e^t/t^t=e^t+c$
$y(t)=t^t+ct^t/e^t$
Imponendo la condizione iniziale $y(1)=1$ ho così $1=1+c/e$ da cui ricavo c=0
io vedo che se la soluzione fosse quella postata da vinci sarebbe $y(1)=2$
"stormy":
io vedo che se la soluzione fosse quella postata da vinci sarebbe $y(1)=2$
La soluzione nel libro è: $y(t)=t^t(e-e^(2-t)+e^(1-t))$
strano ,perchè ho appena verificato che la soluzione $y=t^t$ va benissimo
infatti,$t^t=e^(tlnt)$
$y'=e^(tlnt)(lnt+1)=t^t(lnt+1)$
qundi,$y'-lnty=t^t$
inoltre $y(1)=1$
infatti,$t^t=e^(tlnt)$
$y'=e^(tlnt)(lnt+1)=t^t(lnt+1)$
qundi,$y'-lnty=t^t$
inoltre $y(1)=1$
"stormy":
strano ,perchè ho appena verificato che la soluzione $y=t^t$ va benissimo
Eh...anche a me sembra strano perché ho controllato più volte il mio svolgimento e mi sembra giusto...
P.s. avrei anche da dimostrare la monotonia di una successione definita per induzione. Posso scrivere qui?
"mate947":
Posso scrivere qui?
su questo punto del regolamento mi cogli impreparato
comunque,non so se hai visto,nel penultimo post ho aggiunto la verifica della soluzione
"stormy":[/quote]
comunque,non so se hai visto,nel penultimo post ho aggiunto la verifica della soluzione
sì... grazie mille! Saresti così gentile da dare un'occhiata alla domanda che ho aperto sulla monotonia della successione?
Si ragazzi scusate ho commesso un errore nel calcolo della costante. Chissà dove pensavo. Capita, purtroppo siamo umani.
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