Problema di Cauchy

VittorioT91
Ecco il secondo esercizio di Analisi Complessa:

2) Risolvere il problema di Cauchy mediante le trasformate di Laplace

$\{(4y^(II)+4y^I+y=2H_4(t)),(y(0)=-1),(y^I(0)=2):}$


Effettuo la trasformazione di Laplace:

$Y(4s^2+4s+1)+4s-4=(2e^(-4s)/s)$

$Y(s)= (-4s+4)/(4s^2+4s+1)+(2e^(-4s)/(s(4s^2+4s+1)))=Y_1(s)+Y_2(s)$

Provo a ricordurre $Y_1(s)$ alla forma $(s-a)/((s-a)^2+b^2)$ ???

$Y_1(s)=(-4(s-1))/(-4s(-s-1)+1)$

Scompongo $Y_2(s)$ in fratti semplici:

$Y_2(s)=(A/s+B/(2s+1)+C/((2s+1)^2))$

$\Rightarrow A=2, B=0, C=-4$

$Y_2(s)=e^(-4s)(2/s-4/((2s+1)^2))$

A questo punto mi blocco, cioè non so come poter antitrasformare.

Grazie in anticipo a chiunque risponderà!

Risposte
ciampax
Dunque, sei arrivato a scrivere la seguente soluzione
$$Y(s)=-4\cdot\frac{s-1}{4s^2+4s+1}+\frac{2 e^{-4s}}{s(4s^2+4s+1)}=Y_1(s)+Y_2(s)$$
e fin qui tutto bene. Ora devi antitrasformare le due funzioni.

1) Osserva che $4s^2+4s+1=(2s+1)^2=4(s+1/2)^2$ per cui possiamo scrivere
$$Y_1(s)=-\frac{s-1}{(s+1/2)^2}=-\frac{s+1/2-3/2}{(s+1/2)^2}=-\frac{1}{s+1/2}+\frac{3/2}{(s+1/2)^2}$$
da cui antitrasformando
$$y_1(s)=-e^{-t/2}+\frac{3}{2} t e^{-t/2}$$

2) Qui puoi procedere in due modi: o provi a separare in tanti "pezzi" questa funzione, cercando di applicare varie ed eventuali formule di antitrasformazione, ad esempio questa $\mathcal{L}^{-1}[e^{-as} F(s)]=f(t-a)\cdot H_a(t)$ e anche questa $\mathcal{L}^{-1}[F(s)/s]=\int_0^t f(\tau)\ d\tau$, facendo una serie di calcoli, oppure usi il teorema di convoluzione che ti semplifica la vita. Vediamo qual è il modo più veloce di procedere. Per prima cosa scrivo $Y_2(s)=R(s)\cdot Q(s)$ dove
$$R(s)=\frac{2 e^{-4s}}{s},\qquad Q(s)=\frac{1}{4s^2+4s+1}=\frac{1}{4(s+1/2)^2}=$$
Se indichiamo con $r(t),\ q(t)$ le antitrasformate di tali funzioni, puoi osservare subito che
$$q(t)=\frac{1}{4} t e^{-t/2},\qquad r(t)=2H_4(t)$$
Il teorema di convoluzione afferma che
$$y_2(t)=\int_0^t q(t-\tau)\cdot r(\tau)\ d\tau$$
pertanto possiamo andare a calcolare la trasformata (ricorda che $H_4(\tau)$ è pari a 1 per $\tau\ge 4$ e zero altrimenti)
$$y_2(t)=\int_0^t \frac{1}{4} (t-\tau) e^{-(t-\tau)/2}\cdot 2H_4(\tau)\ d\tau=\frac{1}{2}\int_4^t (t-\tau) e^{-(t-\tau)/2}\ d\tau=$$
ponendo $t-\tau=z,\ d\tau=-ds$ e osservando che $\tau=4\to z=t-4,\ \tau=t\to z=0$
$$=-\frac{1}{2}\int_{t-4}^0 ze^{-z}\ dz=-\frac{1}{2}\left\{\left[-ze^{-z}\right]_{t-4}^0+\int_{t-4}^0 e^{-z}\ dz\right\}=\\ -\frac{1}{2}\left\{(t-4)e^{4-t}+\left[e^{-z}\right]_{t-4}^0\right\}=-\frac{1}{2}\left[(t-4)e^{4-t}+1-e^{4-t}\right]$$
e quindi
$$y_2(t)=-\frac{1}{2}\left[(t-5)e^{4-t}+1\right]$$

Spero sia chiaro.

VittorioT91
Grazie ciampax sei stato chiarissimo! Grazie mille

ciampax
Prego: ho corretto la riga che non si leggeva bene.

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