Problema di Cauchy
Ciao a tutti,qualcuno può spiegarmi come impostare quest'esercizio? 
Stabilire se la funzione$ f(x) = xe^(−x) $ risolve una o piu' delle seguenti equazioni differenziali lineari omogenee
ed a coefficienti costanti:
$y′′− y = 0 $
$y′′− 2y′ + y = 0 $
$y′′ + 2y′ + y = 0$
ed in caso affermativo trovarne l’integrale generale.
E' giusto calacolare la derivata prima e seconda di $ f(x) $ e poi andarle a a sostituire in ciascuna delle equazioni sopra e vedere se rispettano l'uguaglianza?
Stabilire se la funzione$ f(x) = xe^(−x) $ risolve una o piu' delle seguenti equazioni differenziali lineari omogenee
ed a coefficienti costanti:
$y′′− y = 0 $
$y′′− 2y′ + y = 0 $
$y′′ + 2y′ + y = 0$
ed in caso affermativo trovarne l’integrale generale.
E' giusto calacolare la derivata prima e seconda di $ f(x) $ e poi andarle a a sostituire in ciascuna delle equazioni sopra e vedere se rispettano l'uguaglianza?
Risposte
Il metodo che consideri e' giusto e sicuramente porta ad una soluzione corretta.
Pero' se consideri che
$ f(x)= A*exp(x)+B*exp(-x) $
e' la soluzione ben nota della prima e vale il teorema di esistenza e unicita', allora e' chiaro senza fare conti che
$ y= x*exp(-x) $
non e' soluzione di
$ y''-y=0 $
Pero' se consideri che
$ f(x)= A*exp(x)+B*exp(-x) $
e' la soluzione ben nota della prima e vale il teorema di esistenza e unicita', allora e' chiaro senza fare conti che
$ y= x*exp(-x) $
non e' soluzione di
$ y''-y=0 $
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