Problema di Cauchy

[Ale88ssia]

Ciao a tutti! mi servirebbe un aiuto per la parte finale di questo esercizio sulle equazioni differenziali con risoluzione di un problema di Cauchy :

Data l'equazione differenziale : \(\displaystyle y' = \frac{x y log(x)}{\sqrt{y+1}} \) risolvere il problema di Cauchy con dato \(\displaystyle y(1)=0 \)

Allora...io ho trovato l'integrale generale di questa equazione che è a variabili separabili e (tralasciando tutti i calcoli dei vari integrali) mi è risultato questo :

\(\displaystyle 2\sqrt{y+1} - log(\sqrt{y+1} - 1) + log(\sqrt{y+1} +1) = \frac{x^2}{2}(log(x)- \frac{1}{2}) + C \)

dovrebbe essere giusto...

dopodichè sono andata a sostituire la condizione iniziale e mi risulta che \(\displaystyle C = \frac{9}{4} + log(2) \) che mi andrò a sostituire alla C del mio integrale generale...

ora...premettendo che il mio procedimento sia giusto e anche i calcoli (ho i miei dubbi ) come faccio ad esplicitare il tutto??

[Noisemaker]

Credo che utilizzando il Teorema di esistenza ed Unicità rislovi quel problema di Cauchy senza fare alcun conto ....

[Ale88ssia]

...e se avessi avuto come condizione iniziale \(\displaystyle y(1)=1 \) ?

p.s. grazie per il suggerimento precedente!