Problema di cauchy

[Neik0s]

Ciao ragazzi, ho questo problema di cauchy da risolvere :

$\{ ( Y^(II) + 4Y = 0 ), ( y(0) = 0 ) , ( Y^I(0) = 2 ):}$

allora $ y( \pi ) = ? $


Come posso risolverlo ?

L'equzione caratteristica associata risulta essere:
$\ lambda^(II) +4 = 0 $
?

Come vado avanti?

[ciampax]

L'equazione caratteristica è $\lambda^2+4=0$ (che significa $II$?????). Quanto valgono le $\lambda$? In tal caso, quale tipo di soluzione generale hai? A questo punto, calcoli le costanti e trovi la soluzione del problema. A quel punto trovare $y(\pi)$ è solo questione di calcoli.

[Raam]

Vediamo di darti un po’ di aiuto. Questa:

y''(x) + 4y(x) = 0

è un’equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, lineare ed omogenea.
Risolvere un’equazione come questa è davvero molto semplice.

y(0) = 0
y'(0) = 2

Queste sono le condizioni iniziali.

L’equazione si risolve costruendo il polinomio caratteristico e ponendolo uguale a zero per trovarne le radici.

λ² + 4 = 0
λ = ± 2i

Ogni qualvolta la soluzione dell’equazione caratteristica sia una coppia di numeri complessi coniugati (a ± ib), la soluzione dell’equazione differenziale omogenea è del tipo:

y(x) = e^(ax) ( C₁ cos(bx) + C₂ sin(bx) )

C₁ e C₂ sono delle costanti da determinare in base alle condizioni iniziali (se ci sono).
In questo caso:

y(x) = C₁ cos(2x) + C₂ sin(2x)

A questo punto per trovare i valori delle costanti C₁ e C₂ è necessario "applicare" le condizioni iniziali:

{ C₁ = 0
{ d( C₁ cos(2x) + C₂ sin(2x) )/dx (0) = 2

{ C₁ = 0
{ C₂ = 1

Pertanto:

y(x) = sin(2x)

E:

y(π) = sin(2π) = 0