Problema di Cauchy
Buon pomeriggio a tutti. Preparando l'esame di Analisi Matematica 2 mi sono ritrovato a svolgere il seguente problema di Cauchy:
Determinare i valori del parametro reale $alpha$ tali che il problema
$y^('')+2y^{\prime}+alphay=0$
$y(0)=0$
$y(1)=0$
abbia soluzioni diverse da zero.
Ad un certo punto mi blocco. Mi spiego:
In primis svolgo l'equazione differenziale
$y^('')+2y^{\prime}+alphay=0$
$lambda^2+2lambda+alpha=0$
$Delta=4-4alpha$
$lambda=(-2+-sqrt(4(1-alpha)))/2$
$lambda_1=(-2-2sqrt(1-alpha))/2$
$lambda_2=(-2+2sqrt(1-alpha))/2$
$y_(0)=c_1*e^[((-2-2sqrt(1-alpha))/2)x]+c_2*e^[((-2+2sqrt(1-alpha))/2)x]$
A questo punto pongo le condizioni del problema
$y(0)=0 => c_1+c_2=0$
$y(0)=1 =>c_1*e^[(-2-2sqrt(1-alpha))/2]+c_2*e^[(-2+2sqrt(1-alpha))/2] =0 $
E adesso come faccio a determinare $alpha$ affinché il problema abbia soluzioni diverse da zero?
Determinare i valori del parametro reale $alpha$ tali che il problema
$y^('')+2y^{\prime}+alphay=0$
$y(0)=0$
$y(1)=0$
abbia soluzioni diverse da zero.
Ad un certo punto mi blocco. Mi spiego:
In primis svolgo l'equazione differenziale
$y^('')+2y^{\prime}+alphay=0$
$lambda^2+2lambda+alpha=0$
$Delta=4-4alpha$
$lambda=(-2+-sqrt(4(1-alpha)))/2$
$lambda_1=(-2-2sqrt(1-alpha))/2$
$lambda_2=(-2+2sqrt(1-alpha))/2$
$y_(0)=c_1*e^[((-2-2sqrt(1-alpha))/2)x]+c_2*e^[((-2+2sqrt(1-alpha))/2)x]$
A questo punto pongo le condizioni del problema
$y(0)=0 => c_1+c_2=0$
$y(0)=1 =>c_1*e^[(-2-2sqrt(1-alpha))/2]+c_2*e^[(-2+2sqrt(1-alpha))/2] =0 $
E adesso come faccio a determinare $alpha$ affinché il problema abbia soluzioni diverse da zero?
Risposte
Calma, ragioniamo per bene: per prima cosa le soluzioni generali dell'equazione non sono (solo) quelle che hai scritto tu. Osserva che il discriminante dell'algebrica associata dipende da $\alpha$, per cui a seconda che esso sia positivo, nullo o negativo le soluzioni saranno del tipo
$$y(x)=C-1 e^{\lambda_1 x}+C_2 e^{\lambda_2 x}\\ y(x)=(C_1+C_2 x) e^{\lambda x}\\ y(x)=e^{ax}(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x))$$
Dove nel primo caso $\lambda_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-\alpha},\ \alpha<1$, nel secondo $\lambda=-1,\ \alpha=1$ e nel terzo $\alpha=-1,\ \beta=\sqrt{\alpha-1},\ \alpha>1$. Ora la domanda che ti si pone è: per quali valori di $\alpha$ la scelta delle costanti arbitrarie dovuta alle condizioni iniziali, rende $y(x)\ne 0$? vediamo i tre casi:
1) Sostituendo troviamo il sistema $C_1+C_2=0,\ C_1 e^{\lambda_1}+C_2 e^{\lambda_2}=0$ che, è facile vederlo, ha come soluzione unica $C_1=C_2=0$ (poiché $\lambda_1\ne\lambda_2$). Per cui $\alpha<1$ va scartata.
2) Sempre sostituendo si ha $C_1=0,\ (C_1+C_2)e^{\lambda}=0$ e quindi di nuovo $C_1=C_2=0$, per cui scartiamo anche $\alpha=1$.
3) In questo caso si ha $A=0,\ e(A\cos(\beta)+B\sin(\beta))=0$. La seconda equazione diventa $B\sin\beta=0$. Ora, affinché $B\ne 0$, dobbiamo imporre che $\sin(\beta)=0$ da cui $\beta=k\pi,\ k\in ZZ$. Ma allora deve pure essere $\sqrt{\alpha-1}=k\pi\ \Rightarrow\ \alpha=1+k^2\pi^2>1\ \forall\ k>0$.
Pertanto il problema ammette soluzioni non nulle della forma $y(x)=B\sin(k\pi x),\ k\in NN, k>0$ se e solo se $\alpha=1+k^2\pi^2,\ k\in NN,\ k>0$.
$$y(x)=C-1 e^{\lambda_1 x}+C_2 e^{\lambda_2 x}\\ y(x)=(C_1+C_2 x) e^{\lambda x}\\ y(x)=e^{ax}(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x))$$
Dove nel primo caso $\lambda_{1,2}=-1\pm\sqrt{1-\alpha},\ \alpha<1$, nel secondo $\lambda=-1,\ \alpha=1$ e nel terzo $\alpha=-1,\ \beta=\sqrt{\alpha-1},\ \alpha>1$. Ora la domanda che ti si pone è: per quali valori di $\alpha$ la scelta delle costanti arbitrarie dovuta alle condizioni iniziali, rende $y(x)\ne 0$? vediamo i tre casi:
1) Sostituendo troviamo il sistema $C_1+C_2=0,\ C_1 e^{\lambda_1}+C_2 e^{\lambda_2}=0$ che, è facile vederlo, ha come soluzione unica $C_1=C_2=0$ (poiché $\lambda_1\ne\lambda_2$). Per cui $\alpha<1$ va scartata.
2) Sempre sostituendo si ha $C_1=0,\ (C_1+C_2)e^{\lambda}=0$ e quindi di nuovo $C_1=C_2=0$, per cui scartiamo anche $\alpha=1$.
3) In questo caso si ha $A=0,\ e(A\cos(\beta)+B\sin(\beta))=0$. La seconda equazione diventa $B\sin\beta=0$. Ora, affinché $B\ne 0$, dobbiamo imporre che $\sin(\beta)=0$ da cui $\beta=k\pi,\ k\in ZZ$. Ma allora deve pure essere $\sqrt{\alpha-1}=k\pi\ \Rightarrow\ \alpha=1+k^2\pi^2>1\ \forall\ k>0$.
Pertanto il problema ammette soluzioni non nulle della forma $y(x)=B\sin(k\pi x),\ k\in NN, k>0$ se e solo se $\alpha=1+k^2\pi^2,\ k\in NN,\ k>0$.
Tutto chiaro. Grazie mille!
Un piccolo chiarimento. Perché nel terzo caso $A=0$ ?
Dalle condizioni iniziali, essendo $y(0)=0$ si ricava $0=e^0(A\cos(0)+B\sin(0))=A$.
A giusto!!! Che sbadato! Grazie mille risposta semplice e chiara!
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