Problema di Cauchy
Salve ragazzi, stavo risolvendo il seguente problema di Cauchy:
$\{(y^,=-y/t -2y^2/t^2),(y(1)=2):}$
faccio la sostituzione $y/t=z$
e ottengo $z^,=(-2z-2z^2)/t$
faccio il metodo delle variabili separabili quindi vado a svolgere :
$(-1/2\int dz/(z+z^2))=(\int dt/t)$
da cui ottengo:
$1/2lnz-1/2ln(1+z)=lnt+c$
$lnz-ln(1+z)=lnt^2+2c$
$z/(z+1)=t^2e^2c$
$z=(t^2e^(2c))/(1-t^2e^(2c))$
$y(t)=(t^3e^(2c))/(1-t^2e^(2c))$
impongo la condizione iniziale e ottengo che:
$c=ln(2/3)/2$
quindi la soluzione finale è:
$y(t)=(2t^3)/(3-2t^2)$
non sono sicuro sia giusto il procedimento fin qui ma credo di si (magari se potete date un'occhiata voi
), la cosa che vi volevo chiedere era l'ultimo punto dell'esercizio, in pratica mi chiede di determinare l'intervallo di defizione.
Da quel che ho capito dovrei fare il dominio della soluzione è scegliere quell'intervallo che in questo caso contiene quell'uno della condizione iniziale, ma non ho capito cosa sarebbe e se il procedimento in generale è sempre questo, mi potreste aiutare?Grazie
$\{(y^,=-y/t -2y^2/t^2),(y(1)=2):}$
faccio la sostituzione $y/t=z$
e ottengo $z^,=(-2z-2z^2)/t$
faccio il metodo delle variabili separabili quindi vado a svolgere :
$(-1/2\int dz/(z+z^2))=(\int dt/t)$
da cui ottengo:
$1/2lnz-1/2ln(1+z)=lnt+c$
$lnz-ln(1+z)=lnt^2+2c$
$z/(z+1)=t^2e^2c$
$z=(t^2e^(2c))/(1-t^2e^(2c))$
$y(t)=(t^3e^(2c))/(1-t^2e^(2c))$
impongo la condizione iniziale e ottengo che:
$c=ln(2/3)/2$
quindi la soluzione finale è:
$y(t)=(2t^3)/(3-2t^2)$
non sono sicuro sia giusto il procedimento fin qui ma credo di si (magari se potete date un'occhiata voi
), la cosa che vi volevo chiedere era l'ultimo punto dell'esercizio, in pratica mi chiede di determinare l'intervallo di defizione.Da quel che ho capito dovrei fare il dominio della soluzione è scegliere quell'intervallo che in questo caso contiene quell'uno della condizione iniziale, ma non ho capito cosa sarebbe e se il procedimento in generale è sempre questo, mi potreste aiutare?Grazie
Risposte
premetto che non ho verificato se la soluzione sia esatta
guardando l'equazione e la soluzione,la soluzione massimale dovrebbe avere come insieme di definizione l'intervallo $(0,sqrt(3/2))$
per un discorso più generale lascio la parola a qualcuno più esperto
guardando l'equazione e la soluzione,la soluzione massimale dovrebbe avere come insieme di definizione l'intervallo $(0,sqrt(3/2))$
per un discorso più generale lascio la parola a qualcuno più esperto
ho controllato,la soluzione non è corretta
hai fatto un errore di segni
devi ricominciare da
$1/2ln(z+1)-1/2lnz=lnt+lnsqrtk$,con $k>0$
ti dovrebbe venire
$y=(2t)/(3t^2-2)$
quindi la soluzione massimale si dovrebbe avere in $(sqrt(2/3),+infty)$
hai fatto un errore di segni
devi ricominciare da
$1/2ln(z+1)-1/2lnz=lnt+lnsqrtk$,con $k>0$
ti dovrebbe venire
$y=(2t)/(3t^2-2)$
quindi la soluzione massimale si dovrebbe avere in $(sqrt(2/3),+infty)$
scusa ma $ln(sqrt(k))$ nei miei calcoli non spunta
no,questo è un piccolo trucchetto per ricavare più facilmente la costante arbitraria
siccome ci sono tutti logarimi,ho posto $c=lnsqrtk$
è lecito farlo perchè al variare di k,c assume tutti i valori reali
siccome ci sono tutti logarimi,ho posto $c=lnsqrtk$
è lecito farlo perchè al variare di k,c assume tutti i valori reali
"porzio":
no,questo è un piccolo trucchetto per ricavare più facilmente la costante arbitraria
siccome ci sono tutti logarimi,ho posto $c=lnsqrtk$
è lecito farlo perchè al variare di k,c assume tutti i valori reali
ah già era banale come cosa ma non ci ero arrivato
comunque a me alla fine viene
$y(t)=(4t)/(4-t^2)$
$1/2ln((z+1)/z)=lntsqrtk$
$(z+1)/z=kt^2$
$z=1/(kt^2-1)$
$y=t/(kt^2-1)$
$2=1/(k-1)$
$k=3/2$
$(z+1)/z=kt^2$
$z=1/(kt^2-1)$
$y=t/(kt^2-1)$
$2=1/(k-1)$
$k=3/2$
con i segni faccio sempre confusione-.- l'ho fatto due volte e mi è venuto lo stesso 
grazie mille e buone feste
grazie mille e buone feste
altrettanto 
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