Problema di cauchy
Salve a tutti, è da 2 giorni che cerco di trovare una risposta a questo problema di cauchy ma non riesco ad uscirne.
Praticamente inizio trovando lambda 1,2 dopodichè trovo le due soluzioni dell'equazione omogenea e una combacia con f(x), dunque perturbo la soluzione particolare di x e mi ritrovo a cercare un yp(x)=Axsin(2t), lo ho anche riscritto come yp(x)=Axe^(2xi)
ma neanche con questo metodo ne sono uscito, il problema è che mi ritrovo a non riuscire a determinare assolutamente il coefficiente A dopo aver sostituito y' e y'' all'equazione differenziale....
grazie a tutti in anticipo.
y'' + 2y' + 5y = sin(2t)
y(0) = 0
y' (0) = 0 .
Praticamente inizio trovando lambda 1,2 dopodichè trovo le due soluzioni dell'equazione omogenea e una combacia con f(x), dunque perturbo la soluzione particolare di x e mi ritrovo a cercare un yp(x)=Axsin(2t), lo ho anche riscritto come yp(x)=Axe^(2xi)
ma neanche con questo metodo ne sono uscito, il problema è che mi ritrovo a non riuscire a determinare assolutamente il coefficiente A dopo aver sostituito y' e y'' all'equazione differenziale....
grazie a tutti in anticipo.
y'' + 2y' + 5y = sin(2t)
y(0) = 0
y' (0) = 0 .
Risposte
Immagino il PdC sia:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (t) + 2 y^\prime (t) +5y(t) = \sin 2t\\
y(0) = 0\\
y^\prime (0) = 0\; .
\end{cases}
\]
In tal caso l'integrale generale dell'omogenea associata è:
\[
\bar{y}(t) = C_1\ e^{-t}\ \cos 2t + C_2\ e^{-t}\ \sin 2t
\]
poiché i valori caratteristici della EDO sono \(-1\pm 2\imath\).
Dato che il termine noto è in "forma comoda" (cioé è un prodotto di esponenziali, polinomi e seni/coseni con la stessa pulsazione), puoi applicare il metodo di somiglianza; dato che il numero complesso individuato dal termine noto è \(2\imath\) e che tale numero non è un valore caratteristico per la EDO, la soluzione particolare dell'equazione completa è del tipo \(y(t)=A\ \cos 2t + B\ \sin 2t\), con \(A,B\in \mathbb{R}\) da determinare usando la EDO: si ha:
\[
y^\prime (t) = 2B\ \cos 2t - 2A\ \sin 2t \quad \text{e}\quad y^{\prime \prime} (t) = -4A\ \cos 2t - 4B\ \sin 2t = -4 y(t)
\]
sicché sostituendo nella EDO trovi:
\[
4B\ \cos 2t - 4A\ \sin 2t + A\ \cos 2t + B\ \sin 2t = \sin 2t
\]
ossia:
\[
(A+4B)\ \cos t + (B-4A-1)\ \sin t = 0
\]
e dall'indipendenza di seno e coseno discende:
\[
\begin{cases}
A+4B = 0 \\
B-4A-1 =0
\end{cases}\qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} A= - \frac{4}{17} \\ B= \frac{1}{17}\end{cases}
\]
quindi la soluzione particolare cercata è \(y(x) = - \frac{4}{17}\cos 2t + \frac{1}{17} \sin 2t\). Pertanto la soluzione completa della EDO è:
\[
y(x;C_1,C_2) = C_1\ e^{-t}\ \cos 2t + C_2\ e^{-t}\ \sin 2t - \frac{4}{17}\cos 2t + \frac{1}{17} \sin 2t\; .
\]
Per determinare la soluzione del PdC assegnato basta imporre le condizioni iniziali.
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (t) + 2 y^\prime (t) +5y(t) = \sin 2t\\
y(0) = 0\\
y^\prime (0) = 0\; .
\end{cases}
\]
In tal caso l'integrale generale dell'omogenea associata è:
\[
\bar{y}(t) = C_1\ e^{-t}\ \cos 2t + C_2\ e^{-t}\ \sin 2t
\]
poiché i valori caratteristici della EDO sono \(-1\pm 2\imath\).
Dato che il termine noto è in "forma comoda" (cioé è un prodotto di esponenziali, polinomi e seni/coseni con la stessa pulsazione), puoi applicare il metodo di somiglianza; dato che il numero complesso individuato dal termine noto è \(2\imath\) e che tale numero non è un valore caratteristico per la EDO, la soluzione particolare dell'equazione completa è del tipo \(y(t)=A\ \cos 2t + B\ \sin 2t\), con \(A,B\in \mathbb{R}\) da determinare usando la EDO: si ha:
\[
y^\prime (t) = 2B\ \cos 2t - 2A\ \sin 2t \quad \text{e}\quad y^{\prime \prime} (t) = -4A\ \cos 2t - 4B\ \sin 2t = -4 y(t)
\]
sicché sostituendo nella EDO trovi:
\[
4B\ \cos 2t - 4A\ \sin 2t + A\ \cos 2t + B\ \sin 2t = \sin 2t
\]
ossia:
\[
(A+4B)\ \cos t + (B-4A-1)\ \sin t = 0
\]
e dall'indipendenza di seno e coseno discende:
\[
\begin{cases}
A+4B = 0 \\
B-4A-1 =0
\end{cases}\qquad \Rightarrow \qquad \begin{cases} A= - \frac{4}{17} \\ B= \frac{1}{17}\end{cases}
\]
quindi la soluzione particolare cercata è \(y(x) = - \frac{4}{17}\cos 2t + \frac{1}{17} \sin 2t\). Pertanto la soluzione completa della EDO è:
\[
y(x;C_1,C_2) = C_1\ e^{-t}\ \cos 2t + C_2\ e^{-t}\ \sin 2t - \frac{4}{17}\cos 2t + \frac{1}{17} \sin 2t\; .
\]
Per determinare la soluzione del PdC assegnato basta imporre le condizioni iniziali.
grazie mille per la risposta fulminea...comunque, non ho capito perchè non aggiungi la "X" alla soluzione particolare dato che una delle due soluzioni dell'equazione omogenea combacia con quella di f(x)=sen(2t)...
"asker993":
comunque, non ho capito perchè non aggiungi la "X" alla soluzione particolare dato che una delle due soluzioni dell'equazione omogenea combacia con quella di f(x)=sen(2t)...
Questo non è vero.
I due valori caratteristici della EDO (cioé i \(\lambda\), come li chiami tu...
) sono \(-1\pm 2\imath\), mentre il numero complesso individuato dal termine noto è \(2\imath\). Conseguentemente il numero complesso individuato dal termine noto non è un valore caratteristico della EDO e, perciò, non c'è alcun bisogno di cambiare la forma della soluzione particolare aggiungendo un fattore \(x\).
ah forse ho capito, perciò se avessimo avuto
y′′(t)+2y′(t)+5y(t)=e^(-t)* sin2t
y(0)=0
y′(0)=0
Allora avremmo avuto che le due soluzioni combaciavano...è corretto?
y′′(t)+2y′(t)+5y(t)=e^(-t)* sin2t
y(0)=0
y′(0)=0
Allora avremmo avuto che le due soluzioni combaciavano...è corretto?
"asker993":
ah forse ho capito, perciò se avessimo avuto
y′′(t)+2y′(t)+5y(t)=e^(-t)* sin2t
y(0)=0
y′(0)=0
Allora avremmo avuto che le due soluzioni combaciavano...è corretto?
In questo caso il termine noto avrebbe individuato il numero complesso \(-1+2\imath\), che è un valore caratteristico della EDO; in tal caso (e solo in tal caso), la soluzione particolare l'avresti dovuta cercare del tipo:
\[
y(t) = A\ e^{-t}\ t\ \cos 2t + B\ e^{-t}\ t\ \sin 2t\; .
\]
ok grazie mille...e auguri 
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