Problema di Cauchy

[Soter1]

C'è qualcuno che riesce a risolvere tale quesito? Si calcoli $ y(2) $ ove $ y(x) $ è la soluzione del seguente problema di Cauchy:
$ \{ (y'=|xy|) , (y(0) = 1\ .) :} $
Io ho provato a risolverlo ma mi viene $ e^2 $ , mentre il risultato esatto dovrebbe essere $ -e^-2 $. Grazie in anticipo a chiunque cercherà di aiutarmi

[porzio1]

a me una cosa non torna
se $y'=|xy|$,vuol dire che $y' geq 0$ nel dominio della $y$ e quindi $y$ è crescente
ma se $y(0)=1$ come mai $y(2)<0$ ?

[gugo82]

Chiaramente la soluzione del PdC è crescente e positiva a destra di \(0\), quindi per \(x>0\) la derivata prima soddisfa \(y^\prime (x)=x y(x)\) da cui segue \(y(x) = C \exp \left( \frac{x^2}{2}\right)\); dalla condizione iniziale segue, invece, \(C=1\).
Da ciò calcoli subito quel che ti serve.

[Soter1]

Eh Gugo, è quello che ho pensato anch'io... Purtroppo però, pare che la risposta sia $ -e^(-2) $. E' possibile che sia un errore o sbaglio qualcosa? Grazie.

[porzio1]

a me risulta che la soluzione massimale del problema di Cauchy è

$y=e^(-x^2/2)$ per $x leq 0$
$y=e^(x^2/2)$ per $x geq 0$

chiedo conferma ,grazie

[gugo82]

@ Soter:

"Soter":Eh Gugo, è quello che ho pensato anch'io... Purtroppo però, pare che la risposta sia $ -e^(-2) $. E' possibile che sia un errore o sbaglio qualcosa? Grazie.

Ci sarà un errore si stampa... Dato il risultato, potrebbe anche essere probabile che il problema volesse farti calcolare \(y(-2)\).

@ porzio: Giusto.

[Soter1]

Grazie mille a tutti