Problema di Cauchy

[Maryse1]

Calcolare la soluzione del problema di Cauchy:

$ { ( y'(t)=(e^(u(t))-e^-(u(t)))/2(-sent) ),( u(0)=1/2 ):} $

allora per lo svolgimento non ho avuto problemi, essendo un'equaz. differenziale a variabili separabili integrando mi ritrovo che:

$ log(|(e^u-1)/(e^u+1)|)= cost+c $

ora..mi impiccio con i calcoli per determinare la costante e trovare l'espressione della soluzione.. qualcuno può aiutarmi?

[Antimius]

Basta che sostituisci $t=0$, e di conseguenza $u=1/2$, nella soluzione che hai trovato. In questo modo hai un'equazione in $c$ facilmente risolubile. Dove ti blocchi?

[Maryse1]

quindi sostituendo t =0 e u=1/2 trovo che c= log (...ecc) - 1 giusto? mi blocco dopo a scrivere la soluzione generale, ovvero u=..., m'impiccio forse con i calcoli e non mi esce uguale alla soluzione..

[Antimius]

Giusto. $c$ l'hai determinata.
Ora prova a postare i passaggi che hai fatto per determinare la soluzione in forma esplicita, così vedo se posso darti una mano
P.s.: osservare che $\frac{e^u-1}{e^u+1}=1-\frac{2}{e^u+1}$ può aiutarti. O anche $\frac{e^u-1}{e^u+1}=tgh(u/2)$

[Maryse1]

Ok, allora dopo aver determinato la c, mi ritrovo qui:

$ log|(e^u-1)/(e^u+1)| = cost +(e^(1/2)-1)/(e^(1/2)+1)-1 $

è ma da qui, come proseguo? faccio l'inversa del logaritmo? ovvero e elevato a tutto il termine a destra è uguale ad $|(e^u-1)/(e^u+1)|$?

[Antimius]

Certo!

[Maryse1]

Ok quindi infine ho:

$ (e^u-1)/(e^u+1)=e^(cost+(e^(1/2)-1)/(e^(1/2)+1)-1 $
qua basta che mi trovo la u poi

[Antimius]

Esattamente

[Nietzsche610]

Scusate, ma c'è qualcosa che non mi torna, $u(t)$ è una funzione, non una variabile, quindi risolvere quell'equazione differenziale non è così banale..

[Antimius]

Infatti devi prima integrare $\frac{2u'(t)}{e^{u(t)}-e^{-u(t)}}=\-sin t$. Non ho controllato i calcoli, ma la soluzione dovrebbe essere quella che ha scritto Maryse al primo post. Nei post precedenti stavamo discutendo semplicemente come usare la condizione iniziale e come scrivere la soluzione in forma esplicita.

[Nietzsche610]

No, il testo dice $y'(t)$..

[Antimius]

Credo che sia un errore di battitura, perché poi la $y$ non compare più.