Problema di Cauchy
Calcolare la soluzione del seguente problema di Cauchy:
$ { ( t^2u''(t)+2tu'(t)-6u(t)=t^(-3)logt ),( u(1)=0 ),( u'(1)=0 ):} $
Io l'ho svolto così: essendo quell'equazione differenziale di Eulero, pongo $ u(t)= t^m $
e sostituendola mi trovo (per la soluzione omogenea):
$ m^2+m-6=0 $ e quindi le due soluzioni solo -3 e 2, perciò la soluzione omogenea è data da:
$ (c1)t^(-3)+(c2)t^2 $
a questo punto per determinarmi le due costanti ho proseguito con il metodo della variazione delle costanti, ed ho il seguente sistema da risolvere:
$ { ( (c1)'t^(-3)+(c2)'t^2=0 ),( -3(c1)'t^(-4)+2(c2)'t=t^(-3)logt ):} $
risolvendolo ed integrando poi le soluzioni mi ritrovo che $ c1 = t^2/2logt-1/4t^2 +c$ e $ c2 = -3t^3logt-9t^-3+c $
a questo punto sostituendo sopra mi ritrovo la soluzione generale..sempre se non ho fatto errori, poi come devo procedere per la verifica delle condizioni iniziali?..mi devo comunque trovare le costanti che mi ritrovo dall'integrazione indefinita di c1 e c2?
$ { ( t^2u''(t)+2tu'(t)-6u(t)=t^(-3)logt ),( u(1)=0 ),( u'(1)=0 ):} $
Io l'ho svolto così: essendo quell'equazione differenziale di Eulero, pongo $ u(t)= t^m $
e sostituendola mi trovo (per la soluzione omogenea):
$ m^2+m-6=0 $ e quindi le due soluzioni solo -3 e 2, perciò la soluzione omogenea è data da:
$ (c1)t^(-3)+(c2)t^2 $
a questo punto per determinarmi le due costanti ho proseguito con il metodo della variazione delle costanti, ed ho il seguente sistema da risolvere:
$ { ( (c1)'t^(-3)+(c2)'t^2=0 ),( -3(c1)'t^(-4)+2(c2)'t=t^(-3)logt ):} $
risolvendolo ed integrando poi le soluzioni mi ritrovo che $ c1 = t^2/2logt-1/4t^2 +c$ e $ c2 = -3t^3logt-9t^-3+c $
a questo punto sostituendo sopra mi ritrovo la soluzione generale..sempre se non ho fatto errori, poi come devo procedere per la verifica delle condizioni iniziali?..mi devo comunque trovare le costanti che mi ritrovo dall'integrazione indefinita di c1 e c2?
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