Problema di cauchy

[blume92]

ciao a tutti !! ho questo problema di cauchy che ho provato a risolvere ma non mi viene vi scrivo i passaggi che ho fatto potete dirmi dove ho sbagliato??grazie mille in anticipo $ y'=(t-1)*(y^2-1) y(0)=1$ e poi devo trovare per $ y(0)=-2 $ ho fatto $ ∫1/(y^2-1)dy=∫(t-1)dt $ poi ho fatto l integrale mha non sono sicura pero penso sia qua l errore mi viene log(y^2-1)=((t^2)/2 -t)) e ricavo y $ y^2 =log((t^2)/2-t) +1$ poi ricavo y e sostituisco per cauchy y(0)=1 e mi viene c =o e per y(0)=-2 mi viene c = -3 pero non mi viene dove ho sbagliato??

[xdom="Camillo"]Sposto in Analisi matematica.
Ti invito nel futuro a postare nella sezione corretta
Camillo[/xdom]

[poncelet]

Guarda che
\[
\int \frac{dy}{y^{2}-1} \neq \log(y^{2}-1)
\]

[Brancaleone1]

Potresti provare a vederlo così:

$int 1/(y^2-1)dy=int 1/((y+1)(y-1))dy=int (A/(y+1)+B/(y-1))dy=int (A(y-1)+B(y+1))/((y+1)(y-1))dy$

da cui

${ ( A+B=0 ),( -A+B=1 ):}$

Risolvendo il sistema ne sostituisci i valori nell'integrale e trovi due addendi facili da calcolare

[blume92]

okei fatto e mi viene $ -1/2log(y+1)+1/2log(y-1)=(t^2)/2 -t $ cioè $ log(y-1/y+1)=(t^2)/2 -t $ che mi viene $ y=e^((t^(2) -2t)/2) +1 +c $ poi faccio cauchy f(o)=-2 c =-4 f(o)=1 c =-1 mha è sbagliato cos altro ho sbagliato??? in questo integrale?? scusatemi mha non sono affatto pratica con gli integrali:(

[poncelet]

\(
\int \frac{dy}{y^{2}-1}=\int (t-1)dt \implies \frac{1}{2}(\log(1-y)-\log(1+y))=\frac{t^{2}}{2}-t + c \implies \log \frac{1-y}{1+y}=t^{2}-2t+c \implies \)
\(\frac{1-y}{1+y}=e^{t^{2}-2t} +c \implies 1-y = (1+y)e^{t^{2}-2t} +c \implies 1-y=e^{t^{2}-2t}+ye^{t^{2}-2t} +c \implies
\)
\(
(1+e^{t^{2}-2t})y=1-e^{t^{2}-2t}+c \implies y=\frac{1-e^{t^{2}-2t}}{1+e^{t^{2}-2t}}+c
\)
Imponendo la condizione iniziale ottieni \( c=1 \)